Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание в отношении 1:5. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 15.

Задача №18653: Базовая часть: планиметрия

Пусть меньшее основание равно $a,$ а большее — $b .$ В равнобедренной трапеции высота из конца меньшего основания делит большее основание на отрезки

\frac{b - a}{2} и \frac{b + a}{2} .

По условию их отношение равно $1 : 5,$ поэтому

\frac{b - a}{b + a} = \frac{1}{5} .

Отсюда

5 b - 5 a = b + a, 4 b = 6 a, b = \frac{3 a}{2} .

Средняя линия равна $15 :$

\frac{a + b}{2} = 15.

Подставляя $b = \frac{3 a}{2},$ получаем

\frac{a + \frac{3 a}{2}}{2} = 15, \frac{5 a}{4} = 15, a = 12.