Задача №18648

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с вершиной $S$ и основанием $ABC\text{,}$ если известно, что $AB=2\sqrt{2}$ и что расстояние между прямыми $AB$ и $CS$ равно $\sqrt{3}\text{.}$

Пусть $M$ — середина $AB\text{,}$ $O$ — центр основания, $h=SO\text{.}$ В равностороннем треугольнике со стороной $a=2\sqrt{2}$ медиана $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\text{,}$ причём $OM=\frac{1}{3}CM=\frac{\sqrt{6}}{3}\text{,}$ $OC=\frac{2}{3}CM=\frac{2\sqrt{6}}{3}\text{.}$
Введём координаты $O=(0,0,0)\text{,}$ $M=\left(\frac{\sqrt{6}}{3},0,0\right)\text{,}$ $C=\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3},0,0\right)\text{,}$ $A=\left(\frac{\sqrt{6}}{3},\sqrt{2},0\right)\text{,}$ $B=\left(\frac{\sqrt{6}}{3},-\sqrt{2},0\right)\text{,}$ $S=(0,0,h)\text{.}$
Прямая $AB$ имеет направление $\vec{u}=(0,1,0)$ и проходит через $M\text{;}$ прямая $CS$ — направление $\vec{v}=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},0,h\right)\text{.}$ Расстояние между скрещивающимися прямыми

Из условия $\rho =\sqrt{3}$ получаем $6h^2=3\left(h^2+\frac{8}{3}\right)\text{,}$ откуда $3h^2=8$ и $h=\frac{2\sqrt{6}}{3}\text{.}$
Площадь основания $S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=2\sqrt{3}\text{,}$ поэтому