Найдите объём правильной треугольной пирамиды с вершиной S и основанием ABC, если известно, что AB = 2sqrt(2) и что расстояние между прямыми AB и CS равно sqrt(3).
Пусть M — середина AB, O — центр основания, h=SO. В равностороннем треугольнике со стороной a=22 медиана CM=(a3)/(2)=6, причём OM=13 CM=(6)/(3), OC=23 CM=(26)/(3). Введём координаты O=(0,0,0), M=((6)/(3),0,0), C=(-(26)/(3),0,0), A=((6)/(3),2,0), B=((6)/(3),-2,0), S=(0,0,h). Прямая AB имеет направление u=(0,1,0) и проходит через M; прямая CS — направление v=((26)/(3),0,h). Расстояние между скрещивающимися прямыми =(|MC*( u* v)|)/(| u* v|)=(6h)/(sqrt(h^2+83)). Из условия =3 получаем 6h^2=3(h^2+83), откуда 3h^2=8 и h=(26)/(3). Площадь основания S_(ABC)=(3)/(4)a^2=23, поэтому V=13 S_(ABC)* h=13*23*(26)/(3)=(42)/(3).
$V=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$