Задача №18647

Даны неотрицательные действительные числа $a,b,c\text{,}$ не равные одновременно нулю. Найдите наибольшее значение выражения

$$\frac{(a+b)c^3+(b+c)a^3+(c+a)b^3}{(a+b+c{)}^4}.$$

Выражение однородно (числитель и знаменатель степени $4$), поэтому можно считать $a+b+c=1$ и максимизировать числитель

$$N=(a+b)c^3+(b+c)a^3+(c+a)b^3=\sum _{i<j}{a}_i{a}_j\left(a_i^2+a_j^2\right).$$

Сравним внутреннюю точку и границу симплекса. При $a=b=c=\frac{1}{3}$ имеем $N=6\cdot \frac{1}{81}=\frac{2}{27}\approx 0,074\text{.}$ На границе $c=0$ получаем $N=ab(a^2+b^2)$ при $a+b=1\text{;}$ обозначив $ab=p\text{,}$ имеем $N=p(1-2p)\text{,}$ что максимально при $p=\frac{1}{4}\text{,}$ то есть при $a=b=\frac{1}{2}\text{,}$ и тогда $N=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\text{.}$ Поскольку $\frac{1}{8}>\frac{2}{27}\text{,}$ наибольшее значение равно $\frac{1}{8}$ и достигается, когда две переменные равны, а третья равна нулю (например $a=b=\frac{1}{2},c=0$).