Даны неотрицательные действительные числа a, b, c, не равные одновременно нулю. Найдите наибольшее значение выражения ((a+b)c^3+(b+c)a^3+(c+a)b^3)/((a+b+c)^4).
Выражение однородно (числитель и знаменатель степени 4), поэтому можно считать a+b+c=1 и максимизировать числитель N=(a+b)c^3+(b+c)a^3+(c+a)b^3=_(i<j)a_i a_j(a_i^2+a_j^2). Сравним внутреннюю точку и границу симплекса. При a=b=c=13 имеем N=6*181=(2)/(27)~0,074. На границе c=0 получаем N=ab(a^2+b^2) при a+b=1; обозначив ab=p, имеем N=p(1-2p), что максимально при p=14, то есть при a=b=12, и тогда N=14*12=18. Поскольку 18>(2)/(27), наибольшее значение равно 18 и достигается, когда две переменные равны, а третья равна нулю (например a=b=12, c=0).
$\dfrac{1}{8}$