Задача №18646

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются под прямым углом в точке $E\text{.}$ Никакие две стороны этого четырёхугольника не параллельны друг другу. Пусть $F$ и $G$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно и пусть $H$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам. Найдите все возможные значения отношения $BH:CH\text{,}$ если известно, что $\angle EFH=\angle EGH\text{.}$

Введём координаты с началом в $E$ и диагоналями вдоль осей: $A=(0,a)\text{,}$ $B=(b,0)\text{,}$ $C=(0,-c)\text{,}$ $D=(-d,0)\text{,}$ где $a,b,c,d>0\text{.}$ Точка $H$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ (поэтому $HA=HB$ и $HF\perp AB$) и на серединном перпендикуляре к $CD$ (поэтому $HC=HD$ и $HG\perp CD$).
Так как $\angle AEB=90^{\circ }\text{,}$ середина $F$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $AEB$ равноудалена от его вершин: $FE=FA=FB\text{.}$ Аналогично $GE=GC=GD\text{.}$
Величина угла $\angle EFH$ не зависит от положения $H$ на серединном перпендикуляре, и прямой подсчёт даёт

Условие $\angle EFH=\angle EGH$ равносильно $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)\text{,}$ где $f(t)=\frac{2t}{1+t^2}\text{.}$ Функция $f$ принимает каждое своё значение ровно на паре взаимно обратных аргументов, поэтому $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ или $\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\text{.}$ Первое означает $ad=bc\text{,}$ то есть $AB\parallel CD\text{,}$ что запрещено условием. Значит $ac=bd\text{.}$
Определив $H$ из двух серединных перпендикуляров, получаем тождество

которое при $ac=bd$ обращается в нуль. Следовательно $HB=HC\text{,}$ то есть $BH:CH=1\text{.}$