В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются под прямым углом в точке E. Никакие две стороны этого четырёхугольника не параллельны друг другу. Пусть F и G — середины сторон AB и CD соответственно и пусть H — точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам. Найдите все возможные значения отношения BH:CH, если известно, что EFH = EGH.
Введём координаты с началом в E и диагоналями вдоль осей: A=(0,a), B=(b,0), C=(0,-c), D=(-d,0), где a,b,c,d>0. Точка H лежит на серединном перпендикуляре к AB (поэтому HA=HB и HF AB) и на серединном перпендикуляре к CD (поэтому HC=HD и HG CD). Так как AEB=90^, середина F гипотенузы AB прямоугольного треугольника AEB равноудалена от его вершин: FE=FA=FB. Аналогично GE=GC=GD. Величина угла EFH не зависит от положения H на серединном перпендикуляре, и прямой подсчёт даёт cos EFH=(2ab)/(a^2+b^2), cos EGH=(2cd)/(c^2+d^2). Условие EFH= EGH равносильно f( ab)=f( cd), где f(t)=(2t)/(1+t^2). Функция f принимает каждое своё значение ровно на паре взаимно обратных аргументов, поэтому ab= cd или ab= dc. Первое означает ad=bc, то есть AB CD, что запрещено условием. Значит ac=bd. Определив H из двух серединных перпендикуляров, получаем тождество HB^2-HC^2=-((a+c)(b+d)(ac-bd))/(ad-bc), которое при ac=bd обращается в нуль. Следовательно HB=HC, то есть BH:CH=1.
$BH:CH=1$