Решите уравнение (cos 4x - cos 8x)/(sin 4x + sin 8x) = (cos 5x + cos x)/(sin 5x - sin x).
Преобразуем числители и знаменатели по формулам суммы и разности: 4x-8x = 26x2x, 4x+8x = 26x2x, поэтому левая часть равна tan 2x (при 6x0, 2x0). Аналогично 5x+cos x = 23x2x, 5x-sin x = 23x2x, поэтому правая часть равна cot 2x (при 3x0, 2x0). Уравнение принимает вид tan 2x = cot 2x ^2 2x = 1 2x = (pi)/(4)+(pi k)/(2), то есть x = (pi)/(8)+(pi k)/(4). Для всех таких x число 2x — нечётное кратное (pi)/(4), поэтому 2x=2x=+-(2)/(2)0, а 6x0 и 3x0 (соответствующие уравнения не имеют целочисленных решений). Значит ОДЗ соблюдена и все корни подходят.
$x = \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4},\ k\in\mathbb{Z}$