Задача №18644

Решите уравнение

$$\frac{\cos 4x-\cos 8x}{\sin 4x+\sin 8x}=\frac{\cos 5x+\cos x}{\sin 5x-\sin x}.$$

Преобразуем числители и знаменатели по формулам суммы и разности:

$$\cos 4x-\cos 8x=2\sin 6x\sin 2x,\sin 4x+\sin 8x=2\sin 6x\cos 2x,$$

поэтому левая часть равна $\tan 2x$ (при $\sin 6x\ne 0\text{,}$ $\cos 2x\ne 0$). Аналогично

$$\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x,\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x,$$

поэтому правая часть равна $\cot 2x$ (при $\cos 3x\ne 0\text{,}$ $\sin 2x\ne 0$). Уравнение принимает вид

$$\tan 2x=\cot 2x⟹{\tan }^{2}2x=1⟹2x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},$$

то есть $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4}\text{.}$ Для всех таких $x$ число $2x$ — нечётное кратное $\frac{\pi }{4}\text{,}$ поэтому $\sin 2x=\cos 2x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0\text{,}$ а $\sin 6x\ne 0$ и $\cos 3x\ne 0$ (соответствующие уравнения не имеют целочисленных решений). Значит ОДЗ соблюдена и все корни подходят.