Задача №18643

Даны последовательности $a_1,a_2,a_3,\dots$ и $b_1,b_2,b_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ условиям

$$a_{n+1}=a_n\sqrt{1+a_n^2+b_n^2}-b_n,b_{n+1}=b_n\sqrt{1+a_n^2+b_n^2}+a_n.$$

Найдите $a_{10}^2+b_{10}^2\text{,}$ если известно, что $a_1^2+b_1^2=\sqrt[3]{2\sqrt{3}}-1\text{.}$

Обозначим $r_n=a_n^2+b_n^2$ и $s_n=\sqrt{1+r_n}\text{.}$ Тогда

$$a_{n+1}^2+b_{n+1}^2=(a_n{s}_n-b_n{)}^2+(b_n{s}_n+a_n{)}^2=(a_n^2+b_n^2)(s_n^2+1)=r_n(r_n+2).$$

Значит $r_{n+1}+1=r_n^2+2r_n+1=(r_n+1{)}^2\text{.}$ Положим $u_n=r_n+1\text{;}$ тогда $u_{n+1}=u_n^2\text{,}$ откуда $u_n=u_1^{2^{n-1}}\text{.}$
Здесь $u_1=r_1+1=\sqrt[3]{2\sqrt{3}}\text{,}$ поэтому

$$u_{10}=u_1^{2^9}={\left(\sqrt[3]{2\sqrt{3}}\right)}^{512}=(2\sqrt{3}{)}^{512/3}.$$

Наконец

$$a_{10}^2+b_{10}^2=u_{10}-1=(2\sqrt{3}{)}^{512/3}-1=2^{170}\cdot 3^{85}\cdot \sqrt[3]{12}-1,$$

поскольку $(2\sqrt{3}{)}^{512/3}=2^{512/3}{3}^{256/3}=2^{170}{3}^{85}\cdot 2^{2/3}{3}^{1/3}=2^{170}{3}^{85}\sqrt[3]{12}\text{.}$