Даны последовательности a_1, a_2, a_3, и b_1, b_2, b_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n условиям a_(n+1) = a_nsqrt(1+a_n^2+b_n^2) - b_n, b_(n+1) = b_nsqrt(1+a_n^2+b_n^2) + a_n. Найдите a_(10)^2 + b_(10)^2, если известно, что a_1^2 + b_1^2 = [3]2sqrt(3) - 1.
Обозначим r_n = a_n^2 + b_n^2 и s_n=sqrt(1+r_n). Тогда a_(n+1)^2+b_(n+1)^2 = (a_n s_n - b_n)^2 + (b_n s_n + a_n)^2 = (a_n^2+b_n^2)(s_n^2+1) = r_n(r_n+2). Значит r_(n+1)+1 = r_n^2+2r_n+1 = (r_n+1)^2. Положим u_n = r_n+1; тогда u_(n+1)=u_n^2, откуда u_n = u_1^(2^n-1). Здесь u_1 = r_1+1 = [3]2sqrt(3), поэтому u_(10) = u_1^(2^9) = ([3]2sqrt(3))^(512) = (2sqrt(3))^(512/3). Наконец a_(10)^2+b_(10)^2 = u_(10)-1 = (2sqrt(3))^(512/3)-1 = 2^(170)* 3^(85)*[3]12-1, поскольку (2sqrt(3))^(512/3)=2^(512/3)3^(256/3)=2^(170)3^(85)* 2^(2/3)3^(1/3)=2^(170)3^(85)[3]12.
$a_{10}^2+b_{10}^2 = 2^{170}\cdot 3^{85}\cdot\sqrt[3]{12} - 1$