Задача №18640

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения

$$12x^2-20x+5=0.$$

Найдите значение выражения

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.$$

Дискриминант $D=400-240=160>0$ — корни существуют; свободный член ненулевой, значит, $x_1{x}_2\ne 0\text{.}$

По теореме Виета $x_1+x_2=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$ и $x_1{x}_2=\frac{5}{12}\text{.}$ Тогда

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{5/3}{5/12}=\frac{5}{3}\cdot \frac{12}{5}=4.$$