Задача №18638

Найдите в явном виде целое число, записанное выражением

$$\left(\frac{12}{1+\sqrt{7}}-\frac{8}{\sqrt{5}+1}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right).$$

Избавимся от иррациональности в знаменателях:

$$\frac{12}{1+\sqrt{7}}=\frac{12(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)}=\frac{12(\sqrt{7}-1)}{6}=2\sqrt{7}-2,$$ $$\frac{8}{\sqrt{5}+1}=\frac{8(\sqrt{5}-1)}{4}=2\sqrt{5}-2.$$

Разность равна $2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=2(\sqrt{7}-\sqrt{5})\text{,}$ и по формуле разности квадратов

$$2(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2(7-5)=4.$$