Задача №18635

Три числа $a,b,c$ в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Известно, что

$$a+c=10,a^2+b^2+c^2=84.$$

Найдите $ac\text{.}$

По характеристическому свойству геометрической прогрессии $b^2=ac\text{.}$

Возведём первое равенство в квадрат: $(a+c{)}^2=a^2+c^2+2ac=100\text{.}$ Из второго равенства $a^2+c^2=84-b^2\text{,}$ поэтому

$$84-b^2+2b^2=100⟹b^2=16⟹ac=b^2=16.$$

Такая прогрессия существует: $a$ и $c$ — корни уравнения $u^2-10u+16=0\text{,}$ то есть $2$ и $8\text{;}$ прогрессия $2,4,8$ (или $8,4,2\text{;}$ также подходят $b=\pm 4$).