Три числа a, b, c в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Известно, что a + c = 10, a^2 + b^2 + c^2 = 84. Найдите ac.
По характеристическому свойству геометрической прогрессии b^2 = ac. Возведём первое равенство в квадрат: (a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = 100. Из второго равенства a^2 + c^2 = 84 - b^2, поэтому 84 - b^2 + 2b^2 = 100 b^2 = 16 ac = b^2 = 16. Такая прогрессия существует: a и c — корни уравнения u^2 - 10u + 16 = 0, то есть 2 и 8; прогрессия 2, 4, 8 (или 8, 4, 2; также подходят b = +- 4).
$16$