Задача №18632

Дана правильная шестиугольная пирамида, объём которой равен $\sqrt{3}\text{.}$ Радиус окружности, описанной около сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию и находящейся от него на расстоянии $2-\sqrt{3}\text{,}$ равен радиусу окружности, вписанной в основание. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника в основании, $h$ — высота пирамиды. Для правильного шестиугольника со стороной $a\text{:}$

• площадь $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\text{;}$
• радиус описанной окружности равен $a\text{;}$
• радиус вписанной окружности $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Объём. $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\sqrt{3}\text{,}$ откуда

Сечение. Плоскость, параллельная основанию и отстоящая от него на $d=2-\sqrt{3}\text{,}$ пересекает пирамиду по правильному шестиугольнику, подобному основанию (гомотетия с центром в вершине пирамиды) с коэффициентом $k=\frac{h-d}{h}\text{.}$ Радиус описанной около сечения окружности равен $ka\text{.}$ По условию

Подставляя $d=2-\sqrt{3}\text{:}$

(Заодно $d=2-\sqrt{3}<2=h$ — плоскость действительно пересекает пирамиду.) Тогда из $a^{2}h=2$ получаем $a^2=1\text{,}$ то есть $a=1\text{.}$

Боковое ребро. Вершина пирамиды проецируется в центр основания, а вершины основания удалены от центра на радиус описанной окружности, равный $a\text{.}$ Поэтому боковое ребро