Дана правильная шестиугольная пирамида, объём которой равен sqrt(3). Радиус окружности, описанной около сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию и находящейся от него на расстоянии 2 - sqrt(3), равен радиусу окружности, вписанной в основание. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Пусть a — сторона правильного шестиугольника в основании, h — высота пирамиды. Для правильного шестиугольника со стороной a: * площадь S = (3sqrt(3))/(2)a^2; * радиус описанной окружности равен a; * радиус вписанной окружности r = (asqrt(3))/(2). **Объём.** V = (1)/(3)Sh = (sqrt(3))/(2)a^2 h = sqrt(3), откуда a^2 h = 2. **Сечение.** Плоскость, параллельная основанию и отстоящая от него на d = 2 - sqrt(3), пересекает пирамиду по правильному шестиугольнику, подобному основанию (гомотетия с центром в вершине пирамиды) с коэффициентом k = (h - d)/(h). Радиус описанной около сечения окружности равен ka. По условию (h - d)/(h)a = (asqrt(3))/(2) (h - d)/(h) = (sqrt(3))/(2) d = h(1 - (sqrt(3))/(2)) = h * (2 - sqrt(3))/(2). Подставляя d = 2 - sqrt(3): 2 - sqrt(3) = h * (2 - sqrt(3))/(2) h = 2. (Заодно d = 2 - sqrt(3) < 2 = h — плоскость действительно пересекает пирамиду.) Тогда из a^2 h = 2 получаем a^2 = 1, то есть a = 1. **Боковое ребро.** Вершина пирамиды проецируется в центр основания, а вершины основания удалены от центра на радиус описанной окружности, равный a. Поэтому боковое ребро b = sqrt(h^2 + a^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5).
$\sqrt{5}$