Даны положительные действительные числа a, b, c, удовлетворяющие равенству (1)/(a) + (1)/(b) + (1)/(c) = 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения (a^2 - 1)(b^2 - 1)(c^2 - 1).
Из условия каждое слагаемое (1)/(a), (1)/(b), (1)/(c) положительно и меньше 1, поэтому a, b, c > 1 и все три множителя a^2 - 1, b^2 - 1, c^2 - 1 положительны. **Замена.** Положим x = (1)/(a), y = (1)/(b), z = (1)/(c); тогда x, y, z > 0 и x + y + z = 1. Имеем a^2 - 1 = (1 - x^2)/(x^2) = ((1 - x)(1 + x))/(x^2), причём в силу x + y + z = 1: 1 - x = y + z, 1 + x = (x + y + z) + x = 2x + y + z. Поэтому искомое выражение равно P = ((y + z)(2x + y + z) * (x + z)(2y + x + z) * (x + y)(2z + x + y))/(x^2 y^2 z^2). **Оценка по неравенству о средних.** Для каждой пары: y + z >= 2sqrt(yz), и аналогично для остальных, откуда (y+z)(x+z)(x+y) >= 8sqrt(yz)*sqrt(xz)*sqrt(xy) = 8xyz. Для вторых множителей применим неравенство о средних для четырёх чисел: 2x + y + z = x + x + y + z >= 4[4]x^2 yz, поэтому (2x+y+z)(2y+x+z)(2z+x+y) >= 64[4]x^2yz * xy^2z * xyz^2 = 64[4]x^4y^4z^4 = 64xyz. Перемножая и деля на x^2y^2z^2: P >= (8xyz * 64xyz)/(x^2y^2z^2) = 512. **Достижимость.** Оба применённых неравенства обращаются в равенства одновременно тогда и только тогда, когда x = y = z. С учётом x + y + z = 1 получаем x = y = z = (1)/(3), то есть a = b = c = 3. Проверка: (1)/(3) + (1)/(3) + (1)/(3) = 1 и (a^2 - 1)(b^2 - 1)(c^2 - 1) = 8 * 8 * 8 = 512. Наименьшее значение равно 512.