Задача №18631

Даны положительные действительные числа $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие равенству

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1.$$

Найдите наименьшее возможное значение выражения $(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)\text{.}$

Из условия каждое слагаемое $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ положительно и меньше $1\text{,}$ поэтому $a,b,c>1$ и все три множителя $a^2-1\text{,}$ $b^2-1\text{,}$ $c^2-1$ положительны.

Замена. Положим $x=\frac{1}{a}\text{,}$ $y=\frac{1}{b}\text{,}$ $z=\frac{1}{c}\text{;}$ тогда $x,y,z>0$ и $x+y+z=1\text{.}$ Имеем

$$a^2-1=\frac{1-x^2}{x^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{x^2},$$

причём в силу $x+y+z=1\text{:}$

$$1-x=y+z,1+x=(x+y+z)+x=2x+y+z.$$

Поэтому искомое выражение равно

$$P=\frac{(y+z)(2x+y+z)\cdot (x+z)(2y+x+z)\cdot (x+y)(2z+x+y)}{x^2{y}^2{z}^2}.$$

Оценка по неравенству о средних. Для каждой пары: $y+z\ge 2\sqrt{yz}\text{,}$ и аналогично для остальных, откуда

$$(y+z)(x+z)(x+y)\ge 8\sqrt{yz}\cdot \sqrt{xz}\cdot \sqrt{xy}=8xyz.$$

Для вторых множителей применим неравенство о средних для четырёх чисел: $2x+y+z=x+x+y+z\ge 4\sqrt[4]{x^{2}yz}\text{,}$ поэтому

$$(2x+y+z)(2y+x+z)(2z+x+y)\ge 64\sqrt[4]{x^{2}yz\cdot x{y}^{2}z\cdot xy{z}^2}=64\sqrt[4]{x^4{y}^4{z}^4}=64xyz.$$

Перемножая и деля на $x^2{y}^2{z}^2\text{:}$

$$P\ge \frac{8xyz\cdot 64xyz}{x^2{y}^2{z}^2}=512.$$

Достижимость. Оба применённых неравенства обращаются в равенства одновременно тогда и только тогда, когда $x=y=z\text{.}$ С учётом $x+y+z=1$ получаем $x=y=z=\frac{1}{3}\text{,}$ то есть $a=b=c=3\text{.}$ Проверка: $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$ и

$$(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)=8\cdot 8\cdot 8=512.$$

Наименьшее значение равно $512\text{.}$