Окружность _1 радиуса 5 с центром в точке O_1 и окружность _2 радиуса 4 с центром в точке O_2 касаются внутренним образом окружности _3 в точках A и B соответственно. Точка O_2 лежит на окружности _1. Пусть C — точка пересечения отрезка O_1O_2 с окружностью _2. Пусть D и E — точки пересечения прямых AO_2 и BC с окружностью _3 соответственно (отличные от точек A и B). Найдите AB, если известно, что DE = 16.
Пусть O и R — центр и радиус окружности _3. **Шаг 1: гомотетии в точках касания.** При внутреннем касании в точке A точки A, O_1, O лежат на одной прямой, причём O_1A = 5, OA = R. Поэтому гомотетия h_A с центром A и коэффициентом (R)/(5) переводит _1 в _3 (она переводит O_1 в O и радиус 5 в радиус R). Аналогично гомотетия h_B с центром B и коэффициентом (R)/(4) переводит _2 в _3, причём h_B(O_2) = O. **Шаг 2: образы точек O_2 и C.** Точка O_2 лежит на _1, поэтому h_A(O_2) лежит на _3 и на луче AO_2 — это в точности вторая точка пересечения прямой AO_2 с _3, то есть D. Так как гомотетия переводит O_1 в O и O_2 в D, вектор OD сонаправлен вектору O_1O_2 (и OD = R). Точка C лежит на _2, поэтому h_B(C) лежит на _3 и на луче BC — это точка E. Гомотетия h_B переводит O_2 в O и C в E, значит, вектор OE сонаправлен вектору O_2C. **Шаг 3: DE — диаметр.** Точка C лежит на отрезке O_1O_2, поэтому векторы O_2C и O_1O_2 противоположно направлены. Следовательно, OD и OE — противоположно направленные векторы длины R: точки D, O, E лежат на одной прямой, и DE — диаметр _3. Отсюда 2R = DE = 16, R = 8. **Шаг 4: вычисление AB.** Расстояния от O до центров: OO_1 = R - 5 = 3, OO_2 = R - 4 = 4, а O_1O_2 = 5, так как O_2 лежит на _1. Поскольку 3^2 + 4^2 = 5^2, по теореме, обратной теореме Пифагора, угол O_1OO_2 прямой. Точка A лежит на луче OO_1, точка B — на луче OO_2, при этом OA = OB = R = 8 и AOB = O_1OO_2 = 90^(). Из прямоугольного равнобедренного треугольника AOB: AB = sqrt(OA^2 + OB^2) = sqrt(64 + 64) = 8sqrt(2).
$AB = 8\sqrt{2}$