Задача №18630

Окружность ${\Omega }_1$ радиуса $5$ с центром в точке $O_1$ и окружность ${\Omega }_2$ радиуса $4$ с центром в точке $O_2$ касаются внутренним образом окружности ${\Omega }_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Точка $O_2$ лежит на окружности ${\Omega }_1\text{.}$ Пусть $C$ — точка пересечения отрезка $O_1{O}_2$ с окружностью ${\Omega }_2\text{.}$ Пусть $D$ и $E$ — точки пересечения прямых $A{O}_2$ и $BC$ с окружностью ${\Omega }_3$ соответственно (отличные от точек $A$ и $B$). Найдите $AB\text{,}$ если известно, что $DE=16\text{.}$

Пусть $O$ и $R$ — центр и радиус окружности ${\Omega }_3\text{.}$

Шаг 1: гомотетии в точках касания. При внутреннем касании в точке $A$ точки $A\text{,}$ $O_1\text{,}$ $O$ лежат на одной прямой, причём $O_{1}A=5\text{,}$ $OA=R\text{.}$ Поэтому гомотетия $h_A$ с центром $A$ и коэффициентом $\frac{R}{5}$ переводит ${\Omega }_1$ в ${\Omega }_3$ (она переводит $O_1$ в $O$ и радиус $5$ в радиус $R$). Аналогично гомотетия $h_B$ с центром $B$ и коэффициентом $\frac{R}{4}$ переводит ${\Omega }_2$ в ${\Omega }_3\text{,}$ причём $h_B(O_2)=O\text{.}$

Шаг 2: образы точек $O_2$ и $C\text{.}$ Точка $O_2$ лежит на ${\Omega }_1\text{,}$ поэтому $h_A(O_2)$ лежит на ${\Omega }_3$ и на луче $A{O}_2$ — это в точности вторая точка пересечения прямой $A{O}_2$ с ${\Omega }_3\text{,}$ то есть $D\text{.}$ Так как гомотетия переводит $O_1$ в $O$ и $O_2$ в $D\text{,}$ вектор $\overrightarrow{OD}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{O_1{O}_2}$ (и $OD=R$).

Точка $C$ лежит на ${\Omega }_2\text{,}$ поэтому $h_B(C)$ лежит на ${\Omega }_3$ и на луче $BC$ — это точка $E\text{.}$ Гомотетия $h_B$ переводит $O_2$ в $O$ и $C$ в $E\text{,}$ значит, вектор $\overrightarrow{OE}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{O_{2}C}\text{.}$

Шаг 3: $DE$ — диаметр. Точка $C$ лежит на отрезке $O_1{O}_2\text{,}$ поэтому векторы $\overrightarrow{O_{2}C}$ и $\overrightarrow{O_1{O}_2}$ противоположно направлены. Следовательно, $\overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{OE}$ — противоположно направленные векторы длины $R\text{:}$ точки $D\text{,}$ $O\text{,}$ $E$ лежат на одной прямой, и $DE$ — диаметр ${\Omega }_3\text{.}$ Отсюда

Шаг 4: вычисление $AB\text{.}$ Расстояния от $O$ до центров: $O{O}_1=R-5=3\text{,}$ $O{O}_2=R-4=4\text{,}$ а $O_1{O}_2=5\text{,}$ так как $O_2$ лежит на ${\Omega }_1\text{.}$ Поскольку $3^2+4^2=5^2\text{,}$ по теореме, обратной теореме Пифагора, угол $O_{1}O{O}_2$ прямой.

Точка $A$ лежит на луче $O{O}_1\text{,}$ точка $B$ — на луче $O{O}_2\text{,}$ при этом $OA=OB=R=8$ и $\angle AOB=\angle O_{1}O{O}_2=90^{\circ }\text{.}$ Из прямоугольного равнобедренного треугольника $AOB\text{:}$