Решите неравенство 2_(x+1)(x^2 - 1) + _(x-1)(x^2 + 2x + 1) <= 7.
**Область определения.** Основания логарифмов: x + 1 > 0, x + 1 != 1, x - 1 > 0, x - 1 != 1; аргументы: x^2 - 1 > 0, (x+1)^2 > 0. Всё вместе даёт x > 1, x != 2. **Преобразование.** На области определения x^2 - 1 = (x-1)(x+1), причём оба множителя положительны, а x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2, где x + 1 > 0. Поэтому _(x+1)(x^2 - 1) = 1 + _(x+1)(x - 1), _(x-1)(x+1)^2 = 2_(x-1)(x + 1). Обозначим t = _(x+1)(x-1). Так как x != 2, имеем x - 1 != 1, то есть t != 0, и _(x-1)(x+1) = (1)/(t). Неравенство принимает вид 2(1 + t) + (2)/(t) <= 7 2t + (2)/(t) - 5 <= 0 (2t^2 - 5t + 2)/(t) <= 0 ((2t - 1)(t - 2))/(t) <= 0. Методом интервалов: t < 0 или (1)/(2) <= t <= 2. **Возврат к x.** На области определения основание x + 1 > 2 > 1, поэтому t = _(x+1)(x-1) монотонно сравнивается так: * t < 0 0 < x - 1 < 1 1 < x < 2; * t >= (1)/(2) x - 1 >= (x+1)^(1/2) = sqrt(x+1). Обе части положительны лишь при x > 2 (при 1 < x <= 2 левая часть не превосходит 1 < sqrt(x+1)); возводя в квадрат: x^2 - 2x + 1 >= x + 1 x^2 - 3x >= 0 x >= 3; * t <= 2 x - 1 <= (x+1)^2 — верно при всех x > 1, так как (x+1)^2 - (x-1) = x^2 + x + 2 > 0. Итак, (1)/(2) <= t <= 2 x >= 3, а t < 0 1 < x < 2. **Ответ:** x in (1;2) U [3;+inf). Контроль граничной точки: при x = 3 имеем 2_4 8 + _2 16 = 2 * (3)/(2) + 4 = 7 <= 7 — включается.
$x \in (1;\, 2) \cup [3;\, +\infty)$