Решите уравнение (1 - sqrt(3))cos 2x = (1 + sqrt(3))(1 - sin 2x).
Воспользуемся формулами cos 2x = (cos x - sin x)(cos x + sin x) и 1 - sin 2x = sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x = (cos x - sin x)^2. Уравнение принимает вид (1 - sqrt(3))(cos x - sin x)(cos x + sin x) = (1 + sqrt(3))(cos x - sin x)^2, (cos x - sin x)[(1 - sqrt(3))(cos x + sin x) - (1 + sqrt(3))(cos x - sin x)] = 0. **Случай 1.** cos x - sin x = 0, то есть tg x = 1 (при cos x = 0 равенство невозможно): x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. **Случай 2.** Раскроем скобки во втором множителе: (1 - sqrt(3))cos x + (1 - sqrt(3))sin x - (1 + sqrt(3))cos x + (1 + sqrt(3))sin x = 0, -2sqrt(3)cos x + 2sin x = 0 tg x = sqrt(3) x = (pi)/(3) + pi n, n in Z. (При cos x = 0 второй множитель равен +- 2sin x != 0, так что корни не потеряны.) **Проверка.** При x = (pi)/(4): cos(pi)/(2) = 0 и 1 - sin(pi)/(2) = 0 — верно. При x = (pi)/(3): слева (1-sqrt(3))*(-(1)/(2)) = (sqrt(3)-1)/(2), справа (1+sqrt(3))(1 - (sqrt(3))/(2)) = ((1+sqrt(3))(2-sqrt(3)))/(2) = (sqrt(3)-1)/(2) — верно.
$x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\; x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n,\; k, n \in \mathbb{Z}$