Задача №18628

Решите уравнение

$$(1-\sqrt{3})\cos 2x=(1+\sqrt{3})(1-\sin 2x).$$

Воспользуемся формулами $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$ и

$$1-\sin 2x={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=(\cos x-\sin x{)}^2.$$

Уравнение принимает вид

$$(1-\sqrt{3})(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=(1+\sqrt{3})(\cos x-\sin x{)}^2,$$ $$(\cos x-\sin x)[(1-\sqrt{3})(\cos x+\sin x)-(1+\sqrt{3})(\cos x-\sin x)]=0.$$

Случай 1. $\cos x-\sin x=0\text{,}$ то есть $\mathrm{tg}x=1$ (при $\cos x=0$ равенство невозможно):

$$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Случай 2. Раскроем скобки во втором множителе:

$$(1-\sqrt{3})\cos x+(1-\sqrt{3})\sin x-(1+\sqrt{3})\cos x+(1+\sqrt{3})\sin x=0,$$ $$-2\sqrt{3}\cos x+2\sin x=0⟺\mathrm{tg}x=\sqrt{3}⟺x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

(При $\cos x=0$ второй множитель равен $\pm 2\sin x\ne 0\text{,}$ так что корни не потеряны.)

Проверка. При $x=\frac{\pi }{4}\text{:}$ $\cos \frac{\pi }{2}=0$ и $1-\sin \frac{\pi }{2}=0$ — верно. При $x=\frac{\pi }{3}\text{:}$ слева $(1-\sqrt{3})\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{,}$ справа $(1+\sqrt{3})\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ — верно.