Задача №18627

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ условию

$$a_{n+1}+a_n{a}_{n+2}=a_n+a_{n+2}.$$

Найдите $a_{2026}\text{,}$ если известно, что никакой член этой последовательности не равен $1$ и что $a_1=3\text{.}$

Перенесём слагаемые и выразим $a_{n+2}\text{.}$ Условие равносильно

$$a_{n+2}(a_n-1)=a_n-a_{n+1},$$

и так как $a_n\ne 1$ при всех $n\text{,}$ последовательность однозначно задаётся первыми двумя членами:

$$a_{n+2}=\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n-1}.$$

Значение $a_2$ условием не задано — обозначим $a_2=t$ и вычислим следующие члены:

$$a_3=\frac{a_1-a_2}{a_1-1}=\frac{3-t}{2},a_4=\frac{a_2-a_3}{a_2-1}=\frac{t-\frac{3-t}{2}}{t-1}=\frac{3t-3}{2(t-1)}=\frac{3}{2}.$$

Уже здесь виден ключевой факт: $a_4=\frac{3}{2}$ при любом допустимом $t\text{.}$ Продолжим:

$$a_5=\frac{a_3-a_4}{a_3-1}=\frac{\frac{3-t}{2}-\frac{3}{2}}{\frac{3-t}{2}-1}=\frac{-t}{1-t}=\frac{t}{t-1},$$ $$a_6=\frac{a_4-a_5}{a_4-1}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{t}{t-1}}{\frac{1}{2}}=3-\frac{2t}{t-1}=\frac{t-3}{t-1},$$ $$a_7=\frac{a_5-a_6}{a_5-1}=\frac{\frac{3}{t-1}}{\frac{1}{t-1}}=3=a_1,a_8=\frac{a_6-a_7}{a_6-1}=\frac{\frac{t-3}{t-1}-3}{\frac{t-3}{t-1}-1}=\frac{-2t}{-2}=t=a_2.$$

Пара $(a_7,a_8)=(a_1,a_2)\text{,}$ а каждый член определяется двумя предыдущими, поэтому последовательность периодична с периодом $6\text{.}$

Так как $2026=6\cdot 337+4\text{,}$ получаем $a_{2026}=a_4=\frac{3}{2}\text{.}$

Осталось заметить, что условие непротиворечиво: например, при $t=5$ получаем последовательность $3,5,-1,\frac{3}{2},\frac{5}{4},\frac{1}{2},3,5,\dots$ — все члены отличны от $1\text{.}$