Дана последовательность a_1, a_2, a_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n условию a_(n+1) + a_n a_(n+2) = a_n + a_(n+2). Найдите a_(2026), если известно, что никакой член этой последовательности не равен 1 и что a_1 = 3.
Перенесём слагаемые и выразим a_(n+2). Условие равносильно a_(n+2)(a_n - 1) = a_n - a_(n+1), и так как a_n != 1 при всех n, последовательность однозначно задаётся первыми двумя членами: a_(n+2) = (a_n - a_(n+1))/(a_n - 1). Значение a_2 условием не задано — обозначим a_2 = t и вычислим следующие члены: a_3 = (a_1 - a_2)/(a_1 - 1) = (3 - t)/(2), a_4 = (a_2 - a_3)/(a_2 - 1) = (t - 3 - t2)/(t - 1) = (3t - 3)/(2(t - 1)) = (3)/(2). Уже здесь виден ключевой факт: a_4 = (3)/(2) **при любом допустимом** t. Продолжим: a_5 = (a_3 - a_4)/(a_3 - 1) = (3 - t2 - 32)/(3 - t2 - 1) = (-t)/(1 - t) = (t)/(t - 1), a_6 = (a_4 - a_5)/(a_4 - 1) = (32 - tt-1)/(12) = 3 - (2t)/(t-1) = (t - 3)/(t - 1), a_7 = (a_5 - a_6)/(a_5 - 1) = (3t-1)/(1t-1) = 3 = a_1, a_8 = (a_6 - a_7)/(a_6 - 1) = (t-3t-1 - 3)/(t-3t-1 - 1) = (-2t)/(-2) = t = a_2. Пара (a_7, a_8) = (a_1, a_2), а каждый член определяется двумя предыдущими, поэтому последовательность периодична с периодом 6. Так как 2026 = 6 * 337 + 4, получаем a_(2026) = a_4 = (3)/(2). Осталось заметить, что условие непротиворечиво: например, при t = 5 получаем последовательность 3, 5, -1, (3)/(2), (5)/(4), (1)/(2), 3, 5, — все члены отличны от 1.
$a_{2026} = \dfrac{3}{2}$