Задача №18626

В треугольнике $ABC$ известно, что

$$\cos \angle A=\frac{\sqrt{3}}{2},{\sin }^2\angle B=\frac{3}{4}.$$

Найдите наибольшее значение, которое может принимать градусная мера $\angle C\text{.}$

Решение.

Из $\cos \angle A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $(0^{\circ };180^{\circ })$ получаем единственное значение $\angle A=30^{\circ }$ (косинус положителен только для острого угла).

Из ${\sin }^2\angle B=\frac{3}{4}$ следует $\sin \angle B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (синус угла треугольника положителен), поэтому $\angle B=60^{\circ }$ или $\angle B=120^{\circ }\text{.}$

Так как $\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B$ и все углы положительны, рассматриваем оба случая:

Оба треугольника существуют, значит $\angle C=90^{\circ }$ или $\angle C=30^{\circ }\text{.}$ Наибольшее значение — $90^{\circ }\text{.}$

Ответ: $90^{\circ }\text{.}$