Задача №18624

Решите уравнение

$$\sqrt{3x+1}=x-1.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наименьший корень.

Область допустимых значений. Нужно $3x+1\ge 0$ и $x-1\ge 0$ (правая часть равна квадратному корню). Первое даёт $x\ge -\frac{1}{3}\text{,}$ второе — $x\ge 1\text{.}$ Итог: $x\ge 1\text{.}$

Возведение в квадрат.

$$3x+1=(x-1{)}^2=x^2-2x+1⟹x^2-5x=0⟹x(x-5)=0.$$

Отсюда $x=0$ или $x=5\text{.}$

Проверка. Корень $x=0$ не входит в область допустимых значений ($0<1$) — посторонний. Остаётся $x=5\text{:}$ $\sqrt{3\cdot 5+1}=\sqrt{16}=4=5-1$ — верно.

Ответ. $5\text{.}$