Задача №18623

Найдите наименьшее значение выражения

$$2\sqrt{5}\sin x-\sqrt{5}\cos x.$$

Метод. Линейную комбинацию $a\sin \alpha +b\cos \alpha$ сворачиваем в одну синусоиду:

$$a\sin \alpha +b\cos \alpha =R\sin (\alpha +\phi ),R=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Значения такого выражения заполняют отрезок $[-R,R]\text{;}$ наименьшее из них равно $-R\text{.}$

Вычисление. Здесь $a=2\sqrt{5}\text{,}$ $b=-\sqrt{5}\text{;}$ знаки коэффициентов на амплитуду не влияют, поэтому

$$R=\sqrt{(2\sqrt{5}{)}^2+(-\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{20+5}=\sqrt{25}=5.$$

Значит, наименьшее значение равно $-R=-5$ (оно достигается при $\sin (x+\phi )=-1$).

Ответ: $-5\text{.}$