Задача №18622

Найдите значение выражения

$$\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}.$$

Свёртка вложенных радикалов. Подберём представление подкоренных выражений в виде квадрата разности и суммы. Ищем числа $a,b$ с $a+b=5$ и $2\sqrt{ab}=2\sqrt{6}\text{,}$ то есть $ab=6\text{;}$ подходят $a=3,b=2\text{:}$

$$5-2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2=(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2,5+2\sqrt{6}=3+2\sqrt{6}+2=(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2.$$

Поскольку $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0\text{,}$

$$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$$

Сумма: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}\text{.}$

Проверка возведением в квадрат. Для $S=\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}>0$

$$S^2=(5-2\sqrt{6})+(5+2\sqrt{6})+2\sqrt{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=10+2\sqrt{25-24}=10+2=12,$$

откуда $S=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{.}$

Ответ: $2\sqrt{3}\text{.}$