Задача №18620

Решите неравенство

$$(3x-7{)}^2\le (x+1{)}^2.$$

В ответ запишите длину максимального промежутка числовой оси, все значения переменной $x$ на котором удовлетворяют неравенству. Если длина такого промежутка неограничена, то в ответ запишите число 0.

Переносим всё влево и применяем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)\text{:}$

$$(3x-7{)}^2-(x+1{)}^2\le 0,$$ $$[(3x-7)-(x+1)][(3x-7)+(x+1)]\le 0.$$

Упрощаем множители:

$$(2x-8)(4x-6)\le 0.$$

Выносим положительный числовой множитель $4$ (знак не меняется):

$$(x-4)(2x-3)\le 0.$$

Корни: $x=\frac{3}{2}$ и $x=4\text{.}$ Старший коэффициент положителен, ветви параболы вверх, значит неравенство $\le 0$ выполнено между корнями:

$$\frac{3}{2}\le x\le 4.$$

Множество решений — отрезок $\left[\frac{3}{2};4\right]\text{.}$ Его длина равна

$$4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.$$

Ответ: $\frac{5}{2}$ (то есть $2,5$).