Задача №18618

Легко

Задача #18618

Прогрессии•1 балл

В геометрической прогрессии первый член равен $\frac{1}{2},$ а третий член равен $\frac{9}{2} .$ Найдите второй член прогрессии. Если ответов несколько, то напишите наибольшее значение второго члена прогрессии.

Решение. Пусть знаменатель прогрессии равен $q .$ По условию

b_{1} = \frac{1}{2}, b_{3} = b_{1} q^{2} = \frac{9}{2} .

Отсюда

q^{2} = \frac{b _{3}}{b _{1}} = \frac{9/2}{1/2} = 9, q = \pm 3.

Второй член — среднее геометрическое первого и третьего, поэтому $b_{2}^{2} = b_{1} b_{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$ и

b_{2} = \pm \frac{9}{4} = \pm \frac{3}{2} .

Оба значения соответствуют действительным прогрессиям: при $q = 3$ получаем $b_{2} = \frac{3}{2},$ при $q = - 3$ получаем $b_{2} = - \frac{3}{2} .$ По условию в ответ записываем наибольшее.