Задача №18615

Решите уравнение

$$\frac{1}{2^{3-7x}}=4^{x^2}.$$

В ответ запишите наибольший корень.

Приведём обе части к основанию $2\text{.}$ Левую часть перепишем через отрицательный показатель:

$$\frac{1}{2^{3-7x}}=2^{-(3-7x)}=2^{7x-3}.$$

Правую часть: $4=2^2\text{,}$ поэтому

$$4^{x^2}=2^{2x^2}.$$

Получаем

$$2^{7x-3}=2^{2x^2}.$$

Основания равны и положительны, показательная функция монотонна, значит равны показатели:

$$7x-3=2x^2.$$

Приводим к стандартному виду:

$$2x^2-7x+3=0,D=49-24=25.$$

Корни:

$$x=\frac{7\pm 5}{4}\Rightarrow x=3\text{или}x=\frac{1}{2}.$$

Оба корня подходят.

Наибольший корень: $x=3\text{.}$

Ответ: $3\text{.}$