Задача №18612

Найдите целое число, заданное выражением

$${\left(\sqrt{3}\tan \frac{17\pi }{6}+3\right)}^2.$$

Шаг 1. Приводим аргумент тангенса.

$$\frac{17\pi }{6}=2\pi +\frac{5\pi }{6},\tan \frac{17\pi }{6}=\tan \frac{5\pi }{6}.$$

Угол $\frac{5\pi }{6}$ лежит во второй четверти, где тангенс отрицателен, а опорный угол равен $\frac{\pi }{6}\text{,}$ поэтому

$$\tan \frac{5\pi }{6}=-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Шаг 2. Упрощаем скобку.

$$\sqrt{3}\tan \frac{17\pi }{6}+3=\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+3=-1+3=2.$$

Шаг 3. Возводим в квадрат.

$$2^2=4.$$

Ответ: $4\text{.}$