Задача №18611

В треугольнике $ABC$ известно, что

$${\cos }^2\angle A=\frac{1}{2},\sin \angle B=\frac{1}{2}.$$

Найдите наименьшее значение, которое может принимать градусная мера $\angle C\text{.}$

Решение.

Из условия ${\cos }^2\angle A=\frac{1}{2}$ получаем $\cos \angle A=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ На промежутке $(0^{\circ };180^{\circ })$ этому отвечают два значения: $\angle A=45^{\circ }$ или $\angle A=135^{\circ }\text{.}$

Из $\sin \angle B=\frac{1}{2}$ на том же промежутке: $\angle B=30^{\circ }$ или $\angle B=150^{\circ }\text{.}$

Углы треугольника связаны равенством $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }\text{,}$ причём каждый угол положителен, поэтому $\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B>0\text{.}$ Перебираем сочетания:

Допустимы два значения: $\angle C=105^{\circ }$ и $\angle C=15^{\circ }\text{.}$ Наименьшее из них — $15^{\circ }\text{.}$

Ответ: $15^{\circ }\text{.}$