Задача №18609

Решите уравнение

$$\sqrt{5x-6}=x.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наименьший корень.

Область допустимых значений. Правая часть равна арифметическому квадратному корню, поэтому $x\ge 0\text{;}$ подкоренное выражение $5x-6\ge 0\text{,}$ то есть $x\ge \frac{6}{5}\text{.}$ Итог: $x\ge \frac{6}{5}\text{.}$

Возведение в квадрат. При $x\ge 0$ обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$$5x-6=x^2⟹x^2-5x+6=0⟹(x-2)(x-3)=0.$$

Отсюда $x=2$ или $x=3\text{.}$

Проверка. Оба значения удовлетворяют условию $x\ge \frac{6}{5}\text{:}$ $\sqrt{5\cdot 2-6}=\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{5\cdot 3-6}=\sqrt{9}=3$ — верно. Уравнение имеет два корня.

Ответ. Наименьший корень равен $2\text{.}$