Задача №18608

Найдите наибольшее значение выражения

$$\sqrt{10}\sin 2x+\sqrt{6}\cos 2x.$$

Метод. Выражение вида $a\sin \alpha +b\cos \alpha$ сворачивается в одну синусоиду:

$$a\sin \alpha +b\cos \alpha =R\sin (\alpha +\phi ),R=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Поэтому выражение пробегает весь отрезок $[-R,R]\text{,}$ и его наибольшее значение равно $R\text{.}$

Вычисление. Здесь $a=\sqrt{10}\text{,}$ $b=\sqrt{6}$ (частота $2x$ на амплитуду не влияет), поэтому

$$R=\sqrt{(\sqrt{10}{)}^2+(\sqrt{6}{)}^2}=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4.$$

Значение $R=4$ действительно достигается при $\sin (2x+\phi )=1\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$