Задача №18605

Решите неравенство

$$(4x-1{)}^2\le (2x+7{)}^2.$$

В ответ запишите длину максимального промежутка числовой оси, все значения переменной $x$ на котором удовлетворяют неравенству. Если длина такого промежутка неограничена, то в ответ запишите число 0.

Перенесём всё в левую часть и разложим разность квадратов по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)\text{:}$

$$(4x-1{)}^2-(2x+7{)}^2\le 0,$$ $$[(4x-1)-(2x+7)][(4x-1)+(2x+7)]\le 0.$$

Раскрываем скобки в каждом множителе:

$$(2x-8)(6x+6)\le 0.$$

Выносим числовые множители $2$ и $6$ (их произведение $12>0$ знак не меняет):

$$(x-4)(x+1)\le 0.$$

Корни трёхчлена: $x=-1$ и $x=4\text{.}$ Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполнено между корнями:

$$-1\le x\le 4.$$

Множество решений — отрезок $[-1;4]\text{.}$ Его длина равна

$$4-(-1)=5.$$

Ответ: $5\text{.}$