Задача №18603

Легко

Задача #18603

Прогрессии•1 балл

В геометрической прогрессии второй член равен $6,$ а четвёртый член равен $54 .$ Найдите третий член прогрессии. Если ответов несколько, то напишите наименьшее значение третьего члена прогрессии.

Решение. Обозначим первый член прогрессии $b_{1},$ знаменатель $q .$ По условию

b_{2} = b_{1} q = 6, b_{4} = b_{1} q^{3} = 54.

Разделив второе равенство на первое, получаем

q^{2} = \frac{b _{4}}{b _{2}} = \frac{54}{6} = 9, q = \pm 3.

Третий член — это среднее геометрическое соседних, поэтому $b_{3}^{2} = b_{2} b_{4} = 6 \cdot 54 = 324$ и

b_{3} = \pm 324 = \pm 18.

Оба значения отвечают действительным прогрессиям: при $q = 3$ получаем $b_{3} = 18,$ при $q = - 3$ получаем $b_{3} = - 18 .$ По условию в ответ записываем наименьшее.