Задача №18600

Решите уравнение

$$3^{x^2-3x}=9^{2x-5}.$$

В ответ запишите наибольший корень.

Приведём обе части к одному основанию $3\text{.}$ Так как $9=3^2\text{,}$ то

$$9^{2x-5}=3^{2(2x-5)}=3^{4x-10}.$$

Уравнение принимает вид

$$3^{x^2-3x}=3^{4x-10}.$$

Основания равны и положительны, а показательная функция строго монотонна, поэтому равны показатели:

$$x^2-3x=4x-10.$$

Переносим всё в одну часть:

$$x^2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0.$$

Отсюда $x=2$ или $x=5\text{.}$ Оба корня подходят (посторонних нет, так как основания положительны).

Наибольший корень: $x=5\text{.}$

Ответ: $5\text{.}$