Задача №18597

Найдите целое число, заданное выражением

$${\left(4\sin \frac{10\pi }{3}+\sqrt{3}\right)}^2.$$

Шаг 1. Приводим аргумент синуса.

$$\frac{10\pi }{3}=2\pi +\frac{4\pi }{3},\sin \frac{10\pi }{3}=\sin \frac{4\pi }{3}.$$

Угол $\frac{4\pi }{3}$ лежит в третьей четверти, где синус отрицателен, а опорный угол равен $\frac{\pi }{3}\text{,}$ поэтому

$$\sin \frac{4\pi }{3}=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2. Упрощаем скобку.

$$4\sin \frac{10\pi }{3}+\sqrt{3}=4\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}.$$

Шаг 3. Возводим в квадрат.

$${\left(-\sqrt{3}\right)}^2=3.$$

Ответ: $3\text{.}$