Задача №18596

В треугольнике $ABC$ известно, что

$${\cos }^2\angle A=\frac{1}{4},\sin \angle B=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Найдите наименьшее значение, которое может принимать градусная мера $\angle C\text{.}$

Из условия ${\cos }^2\angle A=\frac{1}{4}$ следует $\cos \angle A=\pm \frac{1}{2}\text{.}$ В треугольнике угол лежит в интервале $(0^{\circ };180^{\circ })\text{,}$ поэтому подходят два значения:

$$\angle A=60^{\circ }\text{или}\angle A=120^{\circ }.$$

Из условия $\sin \angle B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ также получаем два варианта:

$$\angle B=60^{\circ }\text{или}\angle B=120^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ значит $\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B\text{,}$ причём должно выполняться $\angle C>0\text{.}$ Переберём все четыре комбинации:

Единственная допустимая комбинация — $\angle A=\angle B=60^{\circ }\text{,}$ при которой $\angle C=60^{\circ }\text{.}$ Других вариантов нет, поэтому наименьшее (и единственно возможное) значение угла $C$ равно $60^{\circ }\text{.}$

Ответ: $\angle C=60^{\circ }\text{.}$