В треугольнике ABC известно, что cos^2 A = (1)/(4), sin B = (sqrt(3))/(2). Найдите наименьшее значение, которое может принимать градусная мера C.
Из условия cos^2 A = (1)/(4) следует cos A = +-(1)/(2). В треугольнике угол лежит в интервале (0^;180^), поэтому подходят два значения: A = 60^ или A = 120^. Из условия sin B = (sqrt(3))/(2) также получаем два варианта: B = 60^ или B = 120^. Сумма углов треугольника равна 180^, значит C = 180^ - A - B, причём должно выполняться C > 0. Переберём все четыре комбинации: | A | B | C = 180^ - A - B | |---|---|---| | 60^ | 60^ | 60^ — годится | | 60^ | 120^ | 0^ — не треугольник | | 120^ | 60^ | 0^ — не треугольник | | 120^ | 120^ | -60^ — невозможно | Единственная допустимая комбинация — A = B = 60^, при которой C = 60^. Других вариантов нет, поэтому наименьшее (и единственно возможное) значение угла C равно 60^. **Ответ:** C = 60^.
\(\angle C = 60^\circ\)