Задача №18594

Решите уравнение

$$\sqrt{x+3}-x+1=0.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наименьший корень.

Перенесём слагаемые так, чтобы корень остался слева:

$$\sqrt{x+3}=x-1.$$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение неотрицательно: $x+3\ge 0\text{,}$ то есть $x\ge -3\text{.}$ Кроме того, левая часть $\sqrt{x+3}\ge 0\text{,}$ поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $x-1\ge 0\text{,}$ то есть $x\ge 1\text{.}$

Возведём в квадрат (при условии $x\ge 1$ это равносильное преобразование):

$$x+3=(x-1{)}^2=x^2-2x+1,$$

откуда

$$x^2-3x-2=0,x=\frac{3\pm \sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$

Отбор корней. Так как $\sqrt{17}\approx 4,12\text{,}$ получаем два кандидата: $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3,56$ и $x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0,56\text{.}$ Условию $x\ge 1$ удовлетворяет только первый; второй — посторонний.

Подстановка подтверждает: при $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ правая часть $x-1\approx 2,56>0\text{,}$ и равенство выполняется. Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3,56\text{.}$