Задача №18593

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{6}\sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x.$$

Выражение вида $a\sin t+b\cos t$ сворачивается в одну синусоиду с амплитудой $\sqrt{a^2+b^2}\text{:}$ для любого $t$ верно

$$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(t+\phi \right),$$

где $\phi$ — вспомогательный угол. Значения такого выражения заполняют весь отрезок $\left[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}\right]\text{.}$

Здесь $t=3x\text{,}$ $a=\sqrt{6}\text{,}$ $b=\sqrt{3}\text{,}$ поэтому амплитуда равна

$$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3.$$

Значит выражение принимает все значения из отрезка $[-3,3]\text{,}$ и его наименьшее значение равно $-3$ (оно достигается, когда $\sin (3x+\phi )=-1$).

Ответ: $-3\text{.}$