Задача №18592

Найдите целое число, заданное выражением

$$\sqrt{9+4\sqrt{2}}-\sqrt{9-4\sqrt{2}}.$$

Свернём подкоренные выражения в полные квадраты. Заметим, что $9=8+1=(2\sqrt{2}{)}^2+1^2\text{,}$ а $4\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1\text{.}$ Значит

$$9-4\sqrt{2}=(2\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2=(2\sqrt{2}-1{)}^2,9+4\sqrt{2}=(2\sqrt{2}+1{)}^2.$$

Поскольку $2\sqrt{2}=\sqrt{8}\approx 2,83>1\text{,}$ оба числа $2\sqrt{2}\pm 1$ положительны, поэтому арифметические корни извлекаются со знаком плюс:

$$\sqrt{9+4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+1,\sqrt{9-4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-1.$$

Вычитаем. Иррациональная часть $2\sqrt{2}$ у обоих корней одна и та же и при вычитании уходит:

$$\sqrt{9+4\sqrt{2}}-\sqrt{9-4\sqrt{2}}=(2\sqrt{2}+1)-(2\sqrt{2}-1)=2.$$

Проверка возведением в квадрат. Если обозначить разность через $d>0\text{,}$ то

$$d^2=(9+4\sqrt{2})+(9-4\sqrt{2})-2\sqrt{(9+4\sqrt{2})(9-4\sqrt{2})}=18-2\sqrt{81-32}=18-2\cdot 7=4,$$

а так как $d>0\text{,}$ получаем $d=2\text{.}$

[!] Знак здесь решает всё: сумма тех же корней равна $(2\sqrt{2}-1)+(2\sqrt{2}+1)=4\sqrt{2}\approx 5,657$ и целой не является. Прежде чем считать, стоит посмотреть, что именно просят сложить или вычесть.

Ответ: $2\text{.}$