Найдите целое число, заданное выражением sqrt(9-42)+sqrt(9+42).
**Свернём подкоренные выражения в полные квадраты.** Заметим, что 9=8+1=(22)^2+1^2, а 42=2* 22* 1. Значит 9-42=(22)^2-2* 22* 1+1^2=(22-1)^2, 9+42=(22+1)^2. Поскольку 22=8~2,83>1, оба числа 22+-1 положительны, поэтому арифметические корни извлекаются со знаком плюс: sqrt(9-42)=22-1, sqrt(9+42)=22+1. **Что даёт записанная сумма.** Складывая, получаем sqrt(9-42)+sqrt(9+42)=(22-1)+(22+1)=42~5,657. Это число иррационально: если возвести сумму в квадрат, то (sqrt(9-42)+sqrt(9+42))^2=(9-42)+(9+42)+2sqrt((9-42)(9+42))=18+2sqrt(81-32)=18+2*7=32, а 32 не является точным квадратом, поэтому сама сумма =sqrt(32)=42 целой быть не может. **Где спрятано целое число.** Числа в условии подобраны так, что 9+-42=(22+-1)^2: при этом иррациональная часть 22 у обоих корней одна и та же, а различаются они лишь целой единицей. Поэтому целым оказывается не сумма, а **разность** сопряжённых радикалов (в условии, по-видимому, опечатка в знаке): sqrt(9+42)-sqrt(9-42)=(22+1)-(22-1)=2. Проверим возведением в квадрат: (sqrt(9+42)-sqrt(9-42))^2=18-2sqrt(81-32)=18-2*7=4, а так как разность положительна, она равна 2. **Ответ:** 2.
2