Задача №18590

Решите неравенство

$$(3x-1{)}^2\le (5-x{)}^2.$$

В ответ запишите длину максимального промежутка числовой оси, все значения переменной $x$ на котором удовлетворяют неравенству. Если длина такого промежутка неограничена, то в ответ запишите число 0.

Неравенство $(3x-1{)}^2\le (5-x{)}^2$ удобно свести к виду с нулём справа и разложить разность квадратов.

Перенесём всё влево:

$$(3x-1{)}^2-(5-x{)}^2\le 0.$$

Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ при $a=3x-1\text{,}$ $b=5-x\text{:}$

$$[(3x-1)-(5-x)][(3x-1)+(5-x)]\le 0.$$

Вычислим скобки: $(3x-1)-(5-x)=4x-6$ и $(3x-1)+(5-x)=2x+4\text{.}$ Получаем

$$(4x-6)(2x+4)\le 0⟺8(2x-3)(x+2)\le 0⟺(x+2)(2x-3)\le 0.$$

Это квадратичное неравенство с корнями $x=-2$ и $x=\frac{3}{2}\text{;}$ ветви параболы направлены вверх, поэтому решение — отрезок между корнями:

$$-2\le x\le \frac{3}{2}.$$

Множество решений — единственный отрезок $\left[-2;\frac{3}{2}\right]\text{,}$ его длина

$$\frac{3}{2}-(-2)=\frac{7}{2}=3,5.$$

Ответ: $\frac{7}{2}=3,5\text{.}$