Решите неравенство (3x-1)^2 <= (5-x)^2. В ответ запишите длину максимального промежутка числовой оси, все значения переменной x на котором удовлетворяют неравенству. Если длина такого промежутка неограничена, то в ответ запишите число 0.
Неравенство (3x-1)^2 <= (5-x)^2 удобно свести к виду с нулём справа и разложить разность квадратов. Перенесём всё влево: (3x-1)^2 - (5-x)^2 <= 0. Применим формулу a^2-b^2=(a-b)(a+b) при a=3x-1, b=5-x: [(3x-1)-(5-x)][(3x-1)+(5-x)] <= 0. Вычислим скобки: (3x-1)-(5-x)=4x-6 и (3x-1)+(5-x)=2x+4. Получаем (4x-6)(2x+4) <= 0 8(2x-3)(x+2) <= 0 (x+2)(2x-3) <= 0. Это квадратичное неравенство с корнями x=-2 и x=(3)/(2); ветви параболы направлены вверх, поэтому решение — отрезок между корнями: -2 <= x <= (3)/(2). Множество решений — единственный отрезок [-2; (3)/(2)], его длина (3)/(2)-(-2)=(7)/(2)=3,5. **Ответ:** (7)/(2)=3,5 .
Длина максимального промежутка равна \( \dfrac{7}{2} = 3{,}5 \).