Задача №18589

Решите уравнение

$$(|3x-2|-7)(|4x-1|+1)=0.$$

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите произведение всех корней.

Произведение двух множителей равно нулю, когда нулю равен хотя бы один из них. Рассмотрим второй множитель.

Модуль неотрицателен, поэтому $|4x-1|+1\ge 1>0$ при любом $x\text{.}$ Значит, второй множитель в ноль не обращается, и уравнение равносильно обращению в ноль первого множителя:

$$|3x-2|-7=0⟺|3x-2|=7.$$

Раскрываем модуль:

$$3x-2=7\Rightarrow x=3,3x-2=-7\Rightarrow x=-\frac{5}{3}.$$

Корней два, поэтому по условию в ответ идёт их произведение:

$$3\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=-5.$$

Ответ: $-5\text{.}$