Задача №18588

В геометрической прогрессии третий член равен 4, а пятый член равен 64. Найдите четвёртый член прогрессии. Если ответов несколько, то напишите наименьшее значение четвёртого члена прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии $b_1\text{,}$ а знаменатель $q\text{.}$ Тогда $b_3=b_1{q}^2\text{,}$ $b_5=b_1{q}^4\text{.}$

Разделим пятый член на третий:

Отсюда $q=\pm 4$ (знаменатель геометрической прогрессии может быть отрицательным).

Четвёртый член $b_4=b_3\cdot q=4\cdot (\pm 4)=\pm 16\text{.}$ Можно получить его и сразу из свойства прогрессии $b_4^2=b_3\cdot b_5=4\cdot 64=256\text{,}$ откуда $b_4=\pm 16\text{.}$

По условию нужно наименьшее значение, поэтому берём $b_4=-16\text{.}$

Ответ: $-16\text{.}$