Задача №18586

В треугольнике $ABC$ известны углы

$$\angle C=34^{\circ },\angle B=56^{\circ }.$$

Найдите угол между высотами $B{B}_1$ и $C{C}_1$ треугольника $ABC\text{.}$

Сначала найдём третий угол треугольника. По теореме о сумме углов

$$\angle A=180^{\circ }-\angle B-\angle C=180^{\circ }-56^{\circ }-34^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $A\text{,}$ то есть $AB\perp AC\text{.}$

Высота $B{B}_1$ проведена из вершины $B$ и перпендикулярна стороне $AC\text{.}$ Но сторона $AB$ уже перпендикулярна $AC$ (так как $\angle A=90^{\circ }$). Поэтому перпендикуляр из $B$ на прямую $AC$ — это сама сторона $BA\text{,}$ а его основание $B_1$ совпадает с $A\text{.}$ Аналогично высота $C{C}_1$ перпендикулярна $AB\text{,}$ а значит совпадает со стороной $CA\text{,}$ и $C_1=A\text{.}$

Таким образом, обе высоты лежат на катетах $AB$ и $AC\text{,}$ а угол между ними равен углу $A\text{:}$

$$\angle (B{B}_1,C{C}_1)=\angle A=90^{\circ }.$$

Ответ: $90^{\circ }\text{.}$

Замечание. В общем случае угол между высотами $B{B}_1$ и $C{C}_1$ равен $\angle A$ (или дополняющему его до $180^{\circ }$), поскольку высоты перпендикулярны сторонам $AC$ и $AB\text{;}$ здесь $\angle A=90^{\circ }\text{,}$ поэтому ответ $90^{\circ }\text{.}$