Задача №18585

Решите уравнение

$$5^{9-2x}=125^{(x-1{)}^2}.$$

В ответ запишите наибольший корень.

Приводим обе части к основанию $5\text{.}$ Так как $125=5^3\text{,}$ правая часть равна

$$125^{(x-1{)}^2}=5^{3(x-1{)}^2}.$$

Слева основание уже пятёрка, поэтому уравнение равносильно равенству показателей:

$$9-2x=3(x-1{)}^2.$$

Приводим к стандартному виду.

$$3x^2-6x+3=9-2x⟹3x^2-4x-6=0.$$

Решаем квадратное уравнение.

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-6)=16+72=88,\sqrt{D}=2\sqrt{22},$$

откуда

$$x=\frac{4\pm 2\sqrt{22}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{22}}{3}.$$

Корней два: $x_1=\frac{2-\sqrt{22}}{3}\approx -0,90$ и $x_2=\frac{2+\sqrt{22}}{3}\approx 2,23\text{.}$ Наибольший — со знаком плюс.

Проверка. Подстановка $x=\frac{2+\sqrt{22}}{3}$ даёт совпадение обеих частей (численно обе равны $\approx 1489,8$).

[!] Показатель $(x-1{)}^2$ неотрицателен, поэтому правая часть не меньше единицы; значит и $9-2x⩾0\text{,}$ то есть $x⩽4,5\text{.}$ Оба корня в этот промежуток попадают — проверка не отсеивает ни одного, но сделать её стоит: в соседних задачах слота она отсекает посторонний корень.

Ответ: $\frac{2+\sqrt{22}}{3}\approx 2,23\text{.}$