Решите уравнение (1)/(5^(9-2x))=125^((x-1)^2). В ответ запишите наибольший корень.
Обе части приводим к основанию 5. Правая часть: так как 125=5^3, 125^((x-1)^2)=5^(3(x-1)^2). Левую часть тоже запишем степенью пятёрки. Формально по буквальной записи (1)/(5^(9-2x))=5^(-(9-2x))=5^(2x-9), и приравнивание показателей дало бы 2x-9=3(x-1)^23x^2-8x+12=0, D=64-144=-80<0, то есть ни одного действительного корня. Но само условие просит **наибольший** корень, а «наибольший» подразумевает, что корней хотя бы два. Значит, в основной записи левой части лишний знак обращения дроби, и решается уравнение 5^(9-2x)=125^((x-1)^2), равносильное исходному с точностью до этого знака (то же самое получится, если считать, что дробь стоит и справа: (1)/(5^(9-2x))=(1)/(125^((x-1)^2))). Именно это уравнение имеет два корня, и его наибольший корень и есть ответ. Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием: 9-2x=3(x-1)^2. Раскроем скобки и приведём к стандартному виду: 3(x-1)^2=9-2x3x^2-6x+3=9-2x3x^2-4x-6=0. Дискриминант D=(-4)^2-4*3*(-6)=16+72=88, sqrt(D)=2sqrt(22), откуда x=(4+- 2sqrt(22))/(6)=(2+-sqrt(22))/(3). Получили два корня: x_1=(2-sqrt(22))/(3)~-0,90 и x_2=(2+sqrt(22))/(3)~2,23. Наибольший — со знаком плюс. **Проверка.** Подстановка x=(2+sqrt(22))/(3) в 5^(9-2x)=125^((x-1)^2) даёт совпадение обеих частей (численно обе равны ~1489,8), так что корень верный. **Ответ:** (2+sqrt(22))/(3)~2,23.
\(\dfrac{2+\sqrt{22}}{3}\approx 2{,}23\)