Дан тетраэдр ABCD. Плоскость alpha пересекает сторону AD в её середине, сторону AB делит в отношении 3:2, считая от вершины B, и параллельна ребру DC. В каком отношении плоскость alpha делит объём тетраэдра?
## Разбор условия Плоскость alpha задана тремя условиями: - пересекает ребро AD в его середине — обозначим эту точку M, так что AM=12 AD; - пересекает ребро AB в точке N, причём AB делится в отношении 3:2, считая **от вершины** B. Значит BN:NA=3:2, откуда AN=25 AB; - параллельна ребру DC. Удобно поместить начало в вершину A и работать с векторами AB, AC, AD. ## Где плоскость пересекает грань ACD Рёбра AD и DC лежат в грани ACD. Плоскость alpha проходит через точку Min AD и параллельна прямой DC, лежащей в этой грани. Поэтому линия пересечения alpha с гранью ACD — это прямая, проходящая через M параллельно DC. В треугольнике ACD прямая через середину M стороны AD, параллельная стороне DC, по теореме о средней линии пересекает третью сторону AC в её **середине**. Обозначим эту точку P: Pin AC, AP=12 AC . Таким образом условие параллельности DC вместе с прохождением через середину AD **жёстко фиксирует** точку P — середину AC. Отрезок MP — средняя линия, MP DC. ## Форма сечения Итак, плоскость alpha проходит через три точки на рёбрах, выходящих из вершины A: Nin AB, Pin AC, Min AD . Плоскость пересекает выпуклый тетраэдр по выпуклому многоугольнику, вершины которого лежат на рёбрах. Проверим, какие рёбра пересечены. Возьмём координаты A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). Тогда M=(0,0,12), N=(25,0,0), P=(0,12,0), а уравнение плоскости alpha: 5x+4y+4z=2 . Подстановка параметризаций рёбер даёт: | ребро | точка пересечения | внутри ребра? | |---|---|---| | AB | x=25 | да (это N) | | AC | y=12 | да (это P) | | AD | z=12 | да (это M) | | BC | t=3 | нет | | BD | t=3 | нет | | CD | нет решения (параллельно) | нет | Плоскость режет только три ребра, выходящих из A. Значит сечение — **треугольник** NPM, отсекающий от тетраэдра «уголок» при вершине A. Второй кусок содержит грань BCD. ## Отношение объёмов Отсечённая часть — тетраэдр ANPM с тем же трёхгранным углом при вершине A, что и у ABCD. Для тетраэдров с общим трёхгранным углом отношение объёмов равно произведению отношений длин боковых рёбер: (V_(ANPM))/(V_(ABCD))=(AN)/(AB)*(AP)/(AC)*(AM)/(AD) =(2)/(5)*12*12=(1)/(10). Следовательно, часть, содержащая вершину A, составляет 110 объёма, а оставшаяся часть — (9)/(10). Их отношение: (V_(ANPM))/(V_(ABCD)-V_(ANPM))=(1/10)/(9/10)=19 . **Проверка.** Прямой расчёт объёма для тетраэдра из координат выше: V_(ANPM)=16*25*12*12=(1)/(60), V_(ABCD)=16, отношение =110. Численное интегрирование (Монте-Карло) по произвольному тетраэдру даёт долю 0,100 для части с вершиной A — совпадает. ## Ответ Плоскость alpha делит объём тетраэдра в отношении 1:9, где меньшая часть содержит вершину A.
Плоскость делит тетраэдр в отношении \(1:9\): меньшая часть (содержащая вершину \(A\)) относится к большей как \(1:9\).