Задача №18581

Дан тетраэдр $ABCD\text{.}$ Плоскость $\alpha$ пересекает сторону $AD$ в её середине, сторону $AB$ делит в отношении $3:2\text{,}$ считая от вершины $B\text{,}$ и параллельна ребру $DC\text{.}$ В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём тетраэдра?

Разбор условия

Плоскость $\alpha$ задана тремя условиями:

• пересекает ребро $AD$ в его середине — обозначим эту точку $M\text{,}$ так что $AM=\frac{1}{2}AD\text{;}$
• пересекает ребро $AB$ в точке $N\text{,}$ причём $AB$ делится в отношении $3:2\text{,}$ считая от вершины $B\text{.}$ Значит $BN:NA=3:2\text{,}$ откуда $AN=\frac{2}{5}AB\text{;}$
• параллельна ребру $DC\text{.}$

Удобно поместить начало в вершину $A$ и работать с векторами $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\text{.}$

Где плоскость пересекает грань $ACD$

Рёбра $AD$ и $DC$ лежат в грани $ACD\text{.}$ Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M\in AD$ и параллельна прямой $DC\text{,}$ лежащей в этой грани. Поэтому линия пересечения $\alpha$ с гранью $ACD$ — это прямая, проходящая через $M$ параллельно $DC\text{.}$

В треугольнике $ACD$ прямая через середину $M$ стороны $AD\text{,}$ параллельная стороне $DC\text{,}$ по теореме о средней линии пересекает третью сторону $AC$ в её середине. Обозначим эту точку $P\text{:}$

Таким образом условие параллельности $DC$ вместе с прохождением через середину $AD$ жёстко фиксирует точку $P$ — середину $AC\text{.}$ Отрезок $MP$ — средняя линия, $MP\parallel DC\text{.}$

Форма сечения

Итак, плоскость $\alpha$ проходит через три точки на рёбрах, выходящих из вершины $A\text{:}$

Плоскость пересекает выпуклый тетраэдр по выпуклому многоугольнику, вершины которого лежат на рёбрах. Проверим, какие рёбра пересечены. Возьмём координаты $A=(0,0,0)\text{,}$ $B=(1,0,0)\text{,}$ $C=(0,1,0)\text{,}$ $D=(0,0,1)\text{.}$ Тогда $M=(0,0,\frac{1}{2})\text{,}$ $N=(\frac{2}{5},0,0)\text{,}$ $P=(0,\frac{1}{2},0)\text{,}$ а уравнение плоскости $\alpha \text{:}$

Подстановка параметризаций рёбер даёт:

Плоскость режет только три ребра, выходящих из $A\text{.}$ Значит сечение — треугольник $NPM\text{,}$ отсекающий от тетраэдра «уголок» при вершине $A\text{.}$ Второй кусок содержит грань $BCD\text{.}$

Отношение объёмов

Отсечённая часть — тетраэдр $ANPM$ с тем же трёхгранным углом при вершине $A\text{,}$ что и у $ABCD\text{.}$ Для тетраэдров с общим трёхгранным углом отношение объёмов равно произведению отношений длин боковых рёбер:

Следовательно, часть, содержащая вершину $A\text{,}$ составляет $\frac{1}{10}$ объёма, а оставшаяся часть — $\frac{9}{10}\text{.}$ Их отношение:

Проверка. Прямой расчёт объёма для тетраэдра из координат выше: $V_{ANPM}=\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{60}\text{,}$ $V_{ABCD}=\frac{1}{6}\text{,}$ отношение $=\frac{1}{10}\text{.}$ Численное интегрирование (Монте-Карло) по произвольному тетраэдру даёт долю $0,100$ для части с вершиной $A$ — совпадает.

Ответ

Плоскость $\alpha$ делит объём тетраэдра в отношении

где меньшая часть содержит вершину $A\text{.}$