Задача №18580

Решите уравнение

$${\sin }^{2}6x+{\sin }^{2}2x=1.$$

Понижение степени

Воспользуемся формулой понижения степени ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\text{.}$ Тогда

$${\sin }^{2}6x+{\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 12x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=1-\frac{\cos 12x+\cos 4x}{2}.$$

Подставляя это в уравнение ${\sin }^{2}6x+{\sin }^{2}2x=1\text{,}$ получаем

$$1-\frac{\cos 12x+\cos 4x}{2}=1⟺\cos 12x+\cos 4x=0.$$

Сумма косинусов в произведение

Применим формулу $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ при $A=12x\text{,}$ $B=4x\text{:}$

$$\cos 12x+\cos 4x=2\cos 8x\cos 4x=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Никаких ограничений на область определения нет (обе части исходного уравнения определены при всех $x$), поэтому отбор корней не требуется — достаточно решить каждое из уравнений.

Первый множитель:

$$\cos 4x=0⟹4x=\frac{\pi }{2}+\pi n⟹x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}.$$

Второй множитель:

$$\cos 8x=0⟹8x=\frac{\pi }{2}+\pi k⟹x=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{8},k\in \mathbb{Z}.$$

О пересечении серий

Серии не совпадают и не поглощают друг друга. Если $\cos 4x=0\text{,}$ то $8x=\pi +2\pi n$ и $\cos 8x=\cos (\pi +2\pi n)=-1\ne 0\text{;}$ значит, корни первой серии не входят во вторую, и наоборот. Поэтому обе серии дают разные корни и записываются вместе.

Удобно свести всё к шагу $\frac{\pi }{16}\text{.}$ Вторая серия — это $x=\frac{\pi }{16}(2k+1)\text{,}$ то есть нечётные кратные $\frac{\pi }{16}\text{.}$ Первая серия — это $x=\frac{\pi }{16}(4n+2)\text{,}$ то есть кратные $\frac{\pi }{16}$ с номером $\equiv 2(\mathrm{mod}4)\text{.}$ Их объединение — все $x=\frac{\pi m}{16}\text{,}$ у которых номер $m$ не делится на $4\text{.}$ Выпадают ровно точки $x=\frac{\pi m}{16}$ при $4\mid m$ (например, $x=0$ и $x=\frac{\pi }{4}$), где, как легко проверить, левая часть равна $0$ или $1\text{,}$ но не подходит.

Проверка

Численный перебор корней на отрезке $[-\pi ,\pi ]$ даёт в точности точки $x=\frac{\pi m}{16}$ с $m\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 5,\pm 6,\pm 7,\pm 9,\pm 10,\pm 11,\pm 13,\pm 14,\pm 15\}$ — то есть все $m\text{,}$ не кратные $4\text{.}$ Подстановка обеих серий в исходное уравнение даёт $1$ (невязка $\sim 10^{-15}$), а исключённые точки $x=0,x=\frac{\pi }{4}$ дают $-1$ и $0$ слева от нуля соответственно — не являются корнями. Ответ подтверждён.

Ответ

$$x=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{8},k\in \mathbb{Z};x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}.$$

Эквивалентная компактная запись: $x=\frac{\pi m}{16}\text{,}$ где $m\in \mathbb{Z}$ и $m$ не делится на $4\text{.}$