Решите уравнение sin^2 6x + sin^2 2x = 1.
## Понижение степени Воспользуемся формулой понижения степени sin^2alpha=(1-cos 2alpha)/(2). Тогда sin^2 6x+sin^2 2x=(1-cos 12x)/(2)+(1-cos 4x)/(2)=1-(cos 12x+cos 4x)/(2). Подставляя это в уравнение sin^2 6x+sin^2 2x=1, получаем 1-(cos 12x+cos 4x)/(2)=1 cos 12x+cos 4x=0. ## Сумма косинусов в произведение Применим формулу cos A+cos B=2cos(A+B)/(2)cos(A-B)/(2) при A=12x, B=4x: cos 12x+cos 4x=2cos 8xcos 4x=0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Никаких ограничений на область определения нет (обе части исходного уравнения определены при всех x), поэтому отбор корней не требуется — достаточно решить каждое из уравнений. **Первый множитель:** cos 4x=0 4x=(pi)/(2)+pi n x=(pi)/(8)+(pi n)/(4), ninZ. **Второй множитель:** cos 8x=0 8x=(pi)/(2)+pi k x=(pi)/(16)+(pi k)/(8), kinZ. ## О пересечении серий Серии не совпадают и не поглощают друг друга. Если cos 4x=0, то 8x=pi+2pi n и cos 8x=cos(pi+2pi n)=-1!= 0; значит, корни первой серии не входят во вторую, и наоборот. Поэтому обе серии дают разные корни и записываются вместе. Удобно свести всё к шагу (pi)/(16). Вторая серия — это x=(pi)/(16)(2k+1), то есть нечётные кратные (pi)/(16). Первая серия — это x=(pi)/(16)(4n+2), то есть кратные (pi)/(16) с номером === 2+-od 4. Их объединение — все x=(pi m)/(16), у которых номер m **не делится** на 4. Выпадают ровно точки x=(pi m)/(16) при 4 m (например, x=0 и x=(pi)/(4)), где, как легко проверить, левая часть равна 0 или 1, но не подходит. ## Проверка Численный перебор корней на отрезке [-pi,pi] даёт в точности точки x=(pi m)/(16) с min+-1,+-2,+-3,+-5,+-6,+-7,+-9,+-10,+-11,+-13,+-14,+-15 — то есть все m, не кратные 4. Подстановка обеих серий в исходное уравнение даёт 1 (невязка 10^(-15)), а исключённые точки x=0, x=(pi)/(4) дают -1 и 0 слева от нуля соответственно — не являются корнями. Ответ подтверждён. ## Ответ x=(pi)/(16)+(pi k)/(8), kinZ; x=(pi)/(8)+(pi n)/(4), ninZ. Эквивалентная компактная запись: x=(pi m)/(16), где minZ и m не делится на 4.
\(x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{8},\ k\in\mathbb{Z}\) и \(x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}\).