Задача №18577

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

$$\sqrt{x^2-1}=3-x^2.$$

Решение

Рассматриваем уравнение

$$\sqrt{x^2-1}=3-x^2.$$

Область допустимых значений и знак правой части. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому $x^2-1\ge 0\text{,}$ то есть $x^2\ge 1\text{.}$ Кроме того, левая часть — арифметический квадратный корень — неотрицательна, значит и правая часть обязана быть неотрицательной: $3-x^2\ge 0\text{,}$ то есть $x^2\le 3\text{.}$ Итого получаем ограничение

$$1\le x^2\le 3.$$

Замена переменной. Уравнение зависит только от $x^2\text{,}$ поэтому удобно положить $t=x^2\text{.}$ Тогда $1\le t\le 3$ и уравнение принимает вид

$$\sqrt{t-1}=3-t.$$

Обе части при выполненных ограничениях неотрицательны ($3-t\ge 0$), поэтому возведение в квадрат равносильно на этой области:

$$t-1=(3-t{)}^2=9-6t+t^2.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$t^2-7t+10=0.$$

По теореме Виета (или через дискриминант $D=49-40=9$) корни

$$t_1=2,t_2=5.$$

Отбор корней. Проверяем ограничение $1\le t\le 3\text{:}$

• $t=2$ — подходит;
• $t=5$ — не подходит, так как $5>3$ (при возведении в квадрат правая часть $3-5=-2$ была бы отрицательной — это посторонний корень).

Значит, остаётся единственное значение $t=2\text{,}$ то есть $x^2=2\text{,}$ откуда

$$x=\sqrt{2}\text{или}x=-\sqrt{2}.$$

Проверка. При $x^2=2\text{:}$ левая часть $\sqrt{2-1}=1\text{,}$ правая часть $3-2=1\text{.}$ Равенство выполнено, оба значения $x=\pm \sqrt{2}$ — настоящие корни.

Сумма квадратов корней. Уравнение имеет два корня $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}\text{.}$ Их квадраты равны

$$(\sqrt{2}{)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2=2+2=4.$$

Ответ

$$\boxed{4}$$