Найдите сумму квадратов всех корней уравнения sqrt(x^2 - 1) = 3 - x^2.
## Решение Рассматриваем уравнение sqrt(x^2 - 1) = 3 - x^2. **Область допустимых значений и знак правой части.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому x^2 - 1 >= 0, то есть x^2 >= 1. Кроме того, левая часть — арифметический квадратный корень — неотрицательна, значит и правая часть обязана быть неотрицательной: 3 - x^2 >= 0, то есть x^2 <= 3. Итого получаем ограничение 1 <= x^2 <= 3. **Замена переменной.** Уравнение зависит только от x^2, поэтому удобно положить t = x^2. Тогда 1 <= t <= 3 и уравнение принимает вид sqrt(t - 1) = 3 - t. Обе части при выполненных ограничениях неотрицательны (3 - t >= 0), поэтому возведение в квадрат равносильно на этой области: t - 1 = (3 - t)^2 = 9 - 6t + t^2. Переносим всё в одну сторону: t^2 - 7t + 10 = 0. По теореме Виета (или через дискриминант D = 49 - 40 = 9) корни t_1 = 2, t_2 = 5. **Отбор корней.** Проверяем ограничение 1 <= t <= 3: - t = 2 — подходит; - t = 5 — не подходит, так как 5 > 3 (при возведении в квадрат правая часть 3 - 5 = -2 была бы отрицательной — это посторонний корень). Значит, остаётся единственное значение t = 2, то есть x^2 = 2, откуда x = sqrt(2) или x = -sqrt(2). **Проверка.** При x^2 = 2: левая часть sqrt(2 - 1) = 1, правая часть 3 - 2 = 1. Равенство выполнено, оба значения x = +-sqrt(2) — настоящие корни. **Сумма квадратов корней.** Уравнение имеет два корня x = sqrt(2) и x = -sqrt(2). Их квадраты равны (sqrt(2))^2 + (-sqrt(2))^2 = 2 + 2 = 4. ## Ответ 4
Сумма квадратов всех корней равна \(4\).