Задача №18555

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ сторона основания $AB=6\text{.}$ Угол наклона боковых граней к плоскости основания таков, что его косинус равен $0,6\text{.}$ В пирамиду вписана сфера. Через центр этой сферы проведена плоскость, параллельная боковой грани $SCD\text{.}$ Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Параметры пирамиды

Основание — квадрат со стороной $AB=6\text{,}$ поэтому апофема основания (расстояние от центра основания до середины стороны) равна

Пусть $\phi$ — угол наклона боковой грани к плоскости основания, $\cos \phi =0,6=\frac{3}{5}\text{.}$ Тогда $\sin \phi =\frac{4}{5}\text{,}$ $\mathrm{tg}\phi =\frac{4}{3}$ (треугольник 3–4–5).

Высота пирамиды и апофема боковой грани (наклонная высота грани) находятся из прямоугольного треугольника «высота — апофема основания — апофема грани»:

Контроль: $l^2=h^2+m^2=16+9=25\text{,}$ $l=5\text{.}$

Вписанная сфера

Сфера касается основания и всех боковых граней, её центр лежит на оси пирамиды. Радиус найдём из соотношения $r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}}\text{:}$

Значит, центр сферы находится на оси на высоте $r=\frac{3}{2}$ над основанием.

Координаты

Поместим центр основания в начало координат:

Центр вписанной сферы — точка $O_1(0,0,\frac{3}{2})\text{.}$

Найдём плоскость боковой грани $SCD\text{.}$ Она содержит $S(0,0,4)$ и сторону $CD$ (при $y=3$). Нормаль к грани: беря векторы $\overrightarrow{DC}=(6,0,0)$ и $\overrightarrow{DS}=(3,-3,4)\text{,}$ получаем $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0,-24,-18)\parallel (0,4,3)\text{.}$ Уравнение грани:

Плоскость сечения параллельна $SCD\text{,}$ значит имеет ту же нормаль, и проходит через $O_1\text{:}$

Где плоскость пересекает пирамиду

Вычислим $f(P)=4y+3z$ в вершинах: $f(A)=f(B)=-12\text{;}$ $f(C)=f(D)=f(S)=12\text{.}$ Секущая плоскость $f=\frac{9}{2}$ разделяет вершины на две группы: $\{A,B\}$ с одной стороны и $\{C,D,S\}$ с другой. Поэтому плоскость пересекает ровно те рёбра, которые соединяют эти группы: $BC\text{,}$ $DA\text{,}$ $SA\text{,}$ $SB\text{.}$ Сечение — четырёхугольник.

Найдём точки пересечения (параметризуем каждое ребро и решаем $f=\frac{9}{2}$).

• На $BC\text{:}$ $-12+24t=\frac{9}{2}\Rightarrow t=\frac{11}{16}\text{,}$ точка $P_1=(3,\frac{9}{8},0)\text{.}$
• На $DA\text{:}$ аналогично $P_2=(-3,\frac{9}{8},0)\text{.}$
• На $SA\text{:}$ $12-24t=\frac{9}{2}\Rightarrow t=\frac{5}{16}\text{,}$ точка $P_3=(-\frac{15}{16},-\frac{15}{16},\frac{11}{4})\text{.}$
• На $SB\text{:}$ аналогично $P_4=(\frac{15}{16},-\frac{15}{16},\frac{11}{4})\text{.}$

Форма сечения

По основанию сечение идёт вдоль отрезка $P_1{P}_2$ (при $y=\frac{9}{8}\text{,}$ от $x=-3$ до $x=3$) — это хорда квадрата, параллельная $CD\text{,}$ её длина

По грани $SAB$ сечение идёт вдоль $P_3{P}_4\text{;}$ обе точки делят рёбра $SA,SB$ в одном отношении от вершины $S\text{,}$ поэтому $P_3{P}_4\parallel AB\parallel CD\text{,}$ а её длина

Таким образом $P_1{P}_2\parallel P_3{P}_4$ — сечение является равнобедренной трапецией (симметрия относительно плоскости $x=0$).

Высота трапеции — расстояние между параллельными сторонами. Середины оснований: $M_1=(0,\frac{9}{8},0)\text{,}$ $M_2=(0,-\frac{15}{16},\frac{11}{4})\text{.}$ Вектор $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(0,-\frac{33}{16},\frac{44}{16})$ перпендикулярен направлению оснований (оси $x$), поэтому его длина и есть высота:

Площадь

Проверка. Независимо площадь плоского четырёхугольника посчитана по формуле $S=\frac{1}{2}|\sum \overrightarrow{P_i}\times \overrightarrow{P_{i+1}}|$ (символьно) — получено то же значение $\frac{3465}{256}\text{.}$ Также подтверждено $r=\frac{3}{2}$ как через $3V/S_{\text{полн}}\text{,}$ так и через расстояние от центра до граней (до основания и до $SCD$ равно $\frac{3}{2}$).

Ответ