В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания AB=6. Угол наклона боковых граней к плоскости основания таков, что его косинус равен 0,6. В пирамиду вписана сфера. Через центр этой сферы проведена плоскость, параллельная боковой грани SCD. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
## Параметры пирамиды Основание — квадрат со стороной AB=6, поэтому апофема основания (расстояние от центра основания до середины стороны) равна m=(AB)/(2)=3. Пусть — угол наклона боковой грани к плоскости основания, cos=0,6=35. Тогда sin=45, tg=43 (треугольник 3–4–5). Высота пирамиды и апофема боковой грани (наклонная высота грани) находятся из прямоугольного треугольника «высота — апофема основания — апофема грани»: h=mtg=3*43=4, l=(m)/(cos)=(3)/(0,6)=5. Контроль: l^2=h^2+m^2=16+9=25, l=5. ## Вписанная сфера Сфера касается основания и всех боковых граней, её центр лежит на оси пирамиды. Радиус найдём из соотношения r=(3V)/(S_(полн)): V=13* S_(осн)* h=13*36*4=48, S_(полн)=S_(осн)+4* S_(грани)=36+4*12*6*5=36+60=96, r=(3*48)/(96)=32. Значит, центр сферы находится на оси на высоте r=32 над основанием. ## Координаты Поместим центр основания в начало координат: A(-3,-3,0),B(3,-3,0),C(3,3,0),D(-3,3,0),S(0,0,4). Центр вписанной сферы — точка O_1(0,0,32). Найдём плоскость боковой грани SCD. Она содержит S(0,0,4) и сторону CD (при y=3). Нормаль к грани: беря векторы DC=(6,0,0) и DS=(3,-3,4), получаем n=DC*DS=(0,-24,-18)(0,4,3). Уравнение грани: 4y+3z=12. Плоскость сечения параллельна SCD, значит имеет ту же нормаль, и проходит через O_1: 4y+3z=4*0+3*32=92. ## Где плоскость пересекает пирамиду Вычислим f(P)=4y+3z в вершинах: f(A)=f(B)=-12; f(C)=f(D)=f(S)=12. Секущая плоскость f=92 разделяет вершины на две группы: A,B с одной стороны и C,D,S с другой. Поэтому плоскость пересекает ровно те рёбра, которые соединяют эти группы: BC, DA, SA, SB. Сечение — **четырёхугольник**. Найдём точки пересечения (параметризуем каждое ребро и решаем f=92). - На BC: -12+24t=92=> t=(11)/(16), точка P_1=(3,98,0). - На DA: аналогично P_2=(-3,98,0). - На SA: 12-24t=92=> t=(5)/(16), точка P_3=(-(15)/(16),-(15)/(16),114). - На SB: аналогично P_4=((15)/(16),-(15)/(16),114). ## Форма сечения По основанию сечение идёт вдоль отрезка P_1P_2 (при y=98, от x=-3 до x=3) — это хорда квадрата, параллельная CD, её длина b_1=|P_1P_2|=6. По грани SAB сечение идёт вдоль P_3P_4; обе точки делят рёбра SA,SB в одном отношении от вершины S, поэтому P_3P_4 AB CD, а её длина b_2=|P_3P_4|=6*(5)/(16)=(15)/(8). Таким образом P_1P_2 P_3P_4 — сечение является **равнобедренной трапецией** (симметрия относительно плоскости x=0). Высота трапеции — расстояние между параллельными сторонами. Середины оснований: M_1=(0,98,0), M_2=(0,-(15)/(16),114). Вектор M_1M_2=(0,-(33)/(16),(44)/(16)) перпендикулярен направлению оснований (оси x), поэтому его длина и есть высота: H=(1)/(16)sqrt(33^2+44^2)=(1)/(16)sqrt(1089+1936)=(sqrt(3025))/(16)=(55)/(16). ## Площадь S=(b_1+b_2)/(2)* H=12(6+(15)/(8))*(55)/(16) =12*(63)/(8)*(55)/(16)=(3465)/(256). **Проверка.** Независимо площадь плоского четырёхугольника посчитана по формуле S=12| P_i*P_(i+1)| (символьно) — получено то же значение (3465)/(256). Также подтверждено r=32 как через 3V/S_(полн), так и через расстояние от центра до граней (до основания и до SCD равно 32). ## Ответ S=(3465)/(256)=13,53515625.
\(S=\dfrac{3465}{256}=13{,}53515625\)