Задача №18554

Найдите наименьшее значение выражения $\frac{x^4+64y^4+8}{xy}$ при условии $x>0,y>0\text{.}$

Идея

При $x>0,y>0$ числитель положителен, поэтому выражение положительно. Оценим его снизу с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM), а затем предъявим точку, где оценка обращается в равенство.

Ключевой приём: свободный член $8$ в числителе удобно разбить на два одинаковых слагаемых $8=4+4\text{.}$ Тогда в числителе окажется четыре слагаемых, произведение которых пропорционально $x^4{y}^4\text{,}$ и после деления на $xy$ получится константа.

Оценка снизу

Запишем числитель в виде суммы четырёх положительных слагаемых:

Применим к этим четырём слагаемым неравенство AM-GM (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического):

Подсчитаем произведение под корнем:

Поскольку $x>0,y>0\text{,}$ имеем $xy>0$ и

Поэтому

Разделив обе части на $xy>0$ (знак неравенства сохраняется), получаем

Таким образом, значение выражения не меньше $16\sqrt{2}$ при всех допустимых $x,y\text{.}$

Достижимость

Равенство в AM-GM для четырёх чисел достигается тогда и только тогда, когда все четыре слагаемых равны между собой:

Из $x^4=4$ и $x>0$ получаем $x=\sqrt{2}\text{.}$ Из $64y^4=4$ имеем $y^4=\frac{1}{16}\text{,}$ а при $y>0$ это даёт $y=\frac{1}{2}\text{.}$ (Заодно проверим, что оба разбитых слагаемых равны нужному значению: $4=4$ — верно.)

Эта точка удовлетворяет условиям $x>0,y>0\text{,}$ значит, оценка достижима. Подставим её и убедимся напрямую:

Значение $16\sqrt{2}$ действительно достигается, поэтому это и есть наименьшее значение.

Проверка (независимый способ)

Можно прийти к тому же результату через производные. Обозначим $N=x^4+64y^4+8$ и $F=\frac{N}{xy}\text{.}$ Условия ${\partial }_{x}F=0$ и ${\partial }_{y}F=0$ дают соответственно $4x^4=N$ и $256y^4=N\text{.}$ Отсюда $x^4=64y^4\text{;}$ вместе с $N=x^4+64y^4+8=256y^4$ получаем $128y^4=8\text{,}$ то есть $y=\frac{1}{2}\text{,}$ $x=\sqrt{2}\text{,}$ и $F=16\sqrt{2}\text{.}$ Численная минимизация подтверждает: минимум $\approx 22,627=16\sqrt{2}\text{.}$

Ответ

достигается при $x=\sqrt{2},y=\frac{1}{2}\text{.}$