Найдите наименьшее значение выражения (x^4+64y^4+8)/(xy) при условии x>0, y>0.
## Идея При x>0, y>0 числитель положителен, поэтому выражение положительно. Оценим его снизу с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM), а затем предъявим точку, где оценка обращается в равенство. Ключевой приём: свободный член 8 в числителе удобно разбить на два одинаковых слагаемых 8=4+4. Тогда в числителе окажется **четыре** слагаемых, произведение которых пропорционально x^4y^4, и после деления на xy получится константа. ## Оценка снизу Запишем числитель в виде суммы четырёх положительных слагаемых: x^4+64y^4+8 = x^4+64y^4+4+4. Применим к этим четырём слагаемым неравенство AM-GM (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического): x^4+64y^4+4+4 >= 4[4]x^4* 64y^4* 4* 4. Подсчитаем произведение под корнем: x^4* 64y^4* 4* 4 = 1024x^4y^4 = 2^(10)x^4y^4. Поскольку x>0, y>0, имеем xy>0 и [4]2^(10)x^4y^4 = 2^(10/4)xy = 2^(5/2)xy = 4sqrt(2)xy. Поэтому x^4+64y^4+8 >= 4* 4sqrt(2)xy = 16sqrt(2)xy. Разделив обе части на xy>0 (знак неравенства сохраняется), получаем (x^4+64y^4+8)/(xy) >= 16sqrt(2). Таким образом, значение выражения не меньше 16sqrt(2) при всех допустимых x,y. ## Достижимость Равенство в AM-GM для четырёх чисел достигается тогда и только тогда, когда все четыре слагаемых равны между собой: x^4 = 64y^4 = 4. Из x^4=4 и x>0 получаем x=sqrt(2). Из 64y^4=4 имеем y^4=(1)/(16), а при y>0 это даёт y=12. (Заодно проверим, что оба разбитых слагаемых равны нужному значению: 4=4 — верно.) Эта точка удовлетворяет условиям x>0, y>0, значит, оценка достижима. Подставим её и убедимся напрямую: x^4=4, 64y^4=64*(1)/(16)=4, x^4+64y^4+8 = 4+4+8 = 16, xy=sqrt(2)*12=(sqrt(2))/(2), (16)/( (sqrt(2))/(2) ) = (32)/(sqrt(2)) = 16sqrt(2). Значение 16sqrt(2) действительно достигается, поэтому это и есть наименьшее значение. ## Проверка (независимый способ) Можно прийти к тому же результату через производные. Обозначим N=x^4+64y^4+8 и F=(N)/(xy). Условия _x F=0 и _y F=0 дают соответственно 4x^4=N и 256y^4=N. Отсюда x^4=64y^4; вместе с N=x^4+64y^4+8=256y^4 получаем 128y^4=8, то есть y=12, x=sqrt(2), и F=16sqrt(2). Численная минимизация подтверждает: минимум ~ 22,627 = 16sqrt(2). ## Ответ _(x,y>0)(x^4+64y^4+8)/(xy) = 16sqrt(2), достигается при x=sqrt(2), y=12.
Наименьшее значение равно \(16\sqrt{2}\); оно достигается при \(x=\sqrt{2},\ y=\tfrac12\).