В остроугольном треугольнике ABC стороны AB=5, а AC=8. Окружность _1 проходит через вершины A и B и касается стороны AC в точке A. Вторая окружность _2 проходит через вершины A и C и касается стороны AB в точке A. Окружности _1 и _2 повторно пересекаются в точке X. Найдите длину отрезков AX и CX, если известно, что длина отрезка BX=2,5.
## Идея Обозначим BAC=alpha. Ключ к задаче -- **теорема об угле между касательной и хордой**: угол между касательной к окружности в точке касания и хордой, выходящей из этой точки, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги. По условию прямая AC касается _1 в точке A, а прямая AB касается _2 в точке A. Применим теорему к каждой из окружностей, чтобы связать углы треугольников ABX и CAX. ## Углы в окружности _1 Окружность _1 проходит через A,B,X, касательная в A -- это прямая AC. - Для хорды AB: угол между касательной AC и хордой AB равен BAC=alpha, поэтому вписанный угол, опирающийся на AB, равен AXB=alpha . - Для хорды AX: угол между касательной AC и хордой AX равен XAC, значит вписанный угол, опирающийся на AX из точки B, даёт XAC= ABX . ## Углы в окружности _2 Окружность _2 проходит через A,C,X, касательная в A -- это прямая AB. - Для хорды AC: угол между касательной AB и хордой AC равен BAC=alpha, поэтому AXC=alpha . - Для хорды AX: угол между касательной AB и хордой AX равен XAB, значит вписанный угол, опирающийся на AX из точки C, даёт XAB= XCA . ## Подобие треугольников ABX и CAX Соберём полученные равенства для треугольников ABX и CAX: AXB= CXA=alpha, XAB= XCA, ABX= CAX . По двум равным углам треугольники подобны с соответствием вершин A C, B A, X X: ABX CAX . Запишем отношения соответственных сторон (напротив равных углов): (AB)/(CA)=(BX)/(AX)=(AX)/(CX). Подставляя AB=5, CA=8, получаем цепочку (BX)/(AX)=(AX)/(CX)=(5)/(8). ## Вычисление длин Из первого равенства (BX)/(AX)=58 находим AX=(8)/(5)BX=(8)/(5)* 2,5=(8)/(5)*(5)/(2)=4 . Из второго равенства (AX)/(CX)=58 находим CX=(8)/(5)AX=(8)/(5)* 4=(32)/(5)=6,4 . Заметим, что отношения BX:AX:CX=25:40:64 выполняются для **любого** остроугольного треугольника с данными сторонами; значение BX=2,5 лишь фиксирует масштаб (то есть конкретный угол A). ## Проверка достижимости Остаётся убедиться, что существует остроугольный треугольник с AB=5, AC=8, в котором BX=2,5. Координатный расчёт показывает: условие BX=2,5 выполняется при A~ 82,1^; тогда B~ 63,8^, C~ 34,1^ -- все углы острые, конфигурация корректна. При этом действительно получаются AX=4 и CX=6,4. ## Ответ AX=4, CX=(32)/(5)=6,4 .
\(AX=4\), \(CX=6{,}4=\dfrac{32}{5}\).