Задача №18553

В остроугольном треугольнике $ABC$ стороны $AB=5\text{,}$ а $AC=8\text{.}$ Окружность ${\Omega }_1$ проходит через вершины $A$ и $B$ и касается стороны $AC$ в точке $A\text{.}$ Вторая окружность ${\Omega }_2$ проходит через вершины $A$ и $C$ и касается стороны $AB$ в точке $A\text{.}$ Окружности ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ повторно пересекаются в точке $X\text{.}$ Найдите длину отрезков $AX$ и $CX\text{,}$ если известно, что длина отрезка $BX=2,5\text{.}$

Идея

Обозначим $\angle BAC=\alpha \text{.}$ Ключ к задаче — теорема об угле между касательной и хордой: угол между касательной к окружности в точке касания и хордой, выходящей из этой точки, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги.

По условию прямая $AC$ касается ${\Omega }_1$ в точке $A\text{,}$ а прямая $AB$ касается ${\Omega }_2$ в точке $A\text{.}$ Применим теорему к каждой из окружностей, чтобы связать углы треугольников $ABX$ и $CAX\text{.}$

Углы в окружности ${\Omega }_1$

Окружность ${\Omega }_1$ проходит через $A,B,X\text{,}$ касательная в $A$ — это прямая $AC\text{.}$

• Для хорды $AB\text{:}$ угол между касательной $AC$ и хордой $AB$ равен $\angle BAC=\alpha \text{,}$ поэтому вписанный угол, опирающийся на $AB\text{,}$ равен

• Для хорды $AX\text{:}$ угол между касательной $AC$ и хордой $AX$ равен $\angle XAC\text{,}$ значит вписанный угол, опирающийся на $AX$ из точки $B\text{,}$ даёт

Углы в окружности ${\Omega }_2$

Окружность ${\Omega }_2$ проходит через $A,C,X\text{,}$ касательная в $A$ — это прямая $AB\text{.}$

• Для хорды $AC\text{:}$ угол между касательной $AB$ и хордой $AC$ равен $\angle BAC=\alpha \text{,}$ поэтому

• Для хорды $AX\text{:}$ угол между касательной $AB$ и хордой $AX$ равен $\angle XAB\text{,}$ значит вписанный угол, опирающийся на $AX$ из точки $C\text{,}$ даёт

Подобие треугольников $ABX$ и $CAX$

Соберём полученные равенства для треугольников $ABX$ и $CAX\text{:}$

По двум равным углам треугольники подобны с соответствием вершин $A\to C\text{,}$ $B\to A\text{,}$ $X\to X\text{:}$

Запишем отношения соответственных сторон (напротив равных углов):

Подставляя $AB=5\text{,}$ $CA=8\text{,}$ получаем цепочку

Вычисление длин

Из первого равенства $\frac{BX}{AX}=\frac{5}{8}$ находим

Из второго равенства $\frac{AX}{CX}=\frac{5}{8}$ находим

Заметим, что отношения $BX:AX:CX=25:40:64$ выполняются для любого остроугольного треугольника с данными сторонами; значение $BX=2,5$ лишь фиксирует масштаб (то есть конкретный угол $A$).

Проверка достижимости

Остаётся убедиться, что существует остроугольный треугольник с $AB=5\text{,}$ $AC=8\text{,}$ в котором $BX=2,5\text{.}$ Координатный расчёт показывает: условие $BX=2,5$ выполняется при $\angle A\approx 82,1^{\circ }\text{;}$ тогда $\angle B\approx 63,8^{\circ }\text{,}$ $\angle C\approx 34,1^{\circ }$ — все углы острые, конфигурация корректна. При этом действительно получаются $AX=4$ и $CX=6,4\text{.}$

Ответ