Решите уравнение: tg^2 x + ctg^2 x + 2sqrt(2)(tg x - ctg x) = 2.
**Область допустимых значений.** Чтобы одновременно существовали tg x и ctg x, нужно sin x!= 0 и cos x!= 0, то есть x != (pi n)/(2), ninZ. **Замена.** Обозначим t = tg x - ctg x. Возведём в квадрат: t^2 = tg^2 x - 2tg xctg x + ctg^2 x = tg^2 x + ctg^2 x - 2, так как tg x*ctg x = 1. Отсюда tg^2 x + ctg^2 x = t^2 + 2. Подставим это в уравнение: (t^2 + 2) + 2sqrt(2)t = 2 t^2 + 2sqrt(2)t = 0 t(t + 2sqrt(2)) = 0. Значит, t = 0 или t = -2sqrt(2). Разберём оба случая. **Случай 1: t = 0, то есть tg x - ctg x = 0.** Тогда tg x = ctg x = (1)/(tg x), откуда tg^2 x = 1 и tg x = +- 1. Это даёт x = (pi)/(4) + pi n или x = -(pi)/(4) + pi n. Объединяя обе серии (шаг (pi)/(2)): x = (pi)/(4) + (pi k)/(2), kinZ. **Случай 2: t = -2sqrt(2), то есть tg x - ctg x = -2sqrt(2).** Положим u = tg x (u!= 0). Тогда u - (1)/(u) = -2sqrt(2). Умножив на u, получаем квадратное уравнение u^2 + 2sqrt(2)u - 1 = 0. Его дискриминант D = (2sqrt(2))^2 + 4 = 8 + 4 = 12, корни u = (-2sqrt(2) +- sqrt(12))/(2) = -sqrt(2) +- sqrt(3). Таким образом, tg x = sqrt(3) - sqrt(2) или tg x = -(sqrt(3) + sqrt(2)). Заметим, что произведение корней равно свободному члену: u_1 u_2 = -1, то есть значения тангенса взаимно обратны с противоположным знаком. Это означает, что соответствующие серии решений отличаются ровно на (pi)/(2): если tg x_1 = sqrt(3)-sqrt(2), то tg(x_1 + (pi)/(2)) = -(1)/(tg x_1) = -(sqrt(3)+sqrt(2)). Поэтому обе серии x = arctg(sqrt(3)-sqrt(2)) + pi n и x = arctg(sqrt(3)-sqrt(2)) + (pi)/(2) + pi n объединяются в одну (шаг (pi)/(2)): x = arctg(sqrt(3)-sqrt(2)) + (pi k)/(2), kinZ. **Проверка ОДЗ.** Все найденные точки имеют вид const + (pi k)/(2) с константами (pi)/(4) и arctg(sqrt(3)-sqrt(2))~ 0,31, ни одна из которых не попадает в запретные точки (pi n)/(2). Значит, все корни допустимы, потеря или добавление решений при замене не произошли. **Самопроверка (численно).** Для x=(pi)/(4): tg x=ctg x=1, левая часть =1+1+2sqrt(2)* 0 = 2. Для tg x=sqrt(3)-sqrt(2): (tg x-ctg x)^2 = (-2sqrt(2))^2 = 8, значит tg^2 x+ctg^2 x = 10, и левая часть =10 + 2sqrt(2)*(-2sqrt(2)) = 10 - 8 = 2. Сканирование корней на периоде (0,pi) даёт ровно четыре точки: 0,308, (pi)/(4), 1,879, (3pi)/(4) — все они укладываются в две указанные серии. **Ответ.** x = (pi)/(4) + (pi k)/(2); x = arctg(sqrt(3)-sqrt(2)) + (pi k)/(2), kinZ.