Задача №18550

Дана последовательность чисел $a_1,a_2,\dots \text{,}$ для которой $a_1=5\text{,}$ а для всех $n\ge 1$ выполняется соотношение:

$$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2.$$

Найдите значение ${\log }_2\left(a_{2026}-1\right)\text{.}$

Идея. Рекуррента $a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$ устроена так, что после сдвига на единицу правая часть превращается в полный квадрат. Введём новую последовательность $b_n=a_n-1$ и посмотрим, как она себя ведёт.

Сведение к квадрату. Вычтем $1$ из обеих частей рекуррентного соотношения:

$$a_{n+1}-1=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1{)}^2.$$

Значит, для $b_n=a_n-1$ выполняется совсем простое соотношение

$$b_{n+1}=b_n^2,b_1=a_1-1=5-1=4.$$

Явная формула для $b_n\text{.}$ Каждый следующий член получается возведением предыдущего в квадрат, поэтому показатель степени удваивается на каждом шаге:

$$b_1=4,b_2=b_1^2=4^2,b_3=b_2^2=4^{2^2},\dots ,b_n=4^{2^{n-1}}.$$

Строго это доказывается индукцией: если $b_n=4^{2^{n-1}}\text{,}$ то $b_{n+1}=b_n^2={\left(4^{2^{n-1}}\right)}^2=4^{2^{n-1}\cdot 2}=4^{2^n}\text{,}$ что и есть та же формула для номера $n+1\text{.}$ База $b_1=4^{2^0}=4$ верна.

Удобно перевести основание в двойку. Так как $4=2^2\text{,}$ получаем

$$b_n={\left(2^2\right)}^{2^{n-1}}=2^{2\cdot 2^{n-1}}=2^{2^n}.$$

Проверка на первых членах. Прямой пересчёт даёт $a_1=5,a_2=17,a_3=257,a_4=65537$ (это, кстати, числа Ферма $2^{2^n}+1$). Соответственно $a_n-1$ равно $4,16,256,65536\text{,}$ то есть $2^{2^1},2^{2^2},2^{2^3},2^{2^4}$ — формула $b_n=2^{2^n}$ подтверждается.

Ответ. При $n=2026$

$$a_{2026}-1=b_{2026}=2^{2^{2026}},$$

поэтому

$${\log }_2\left(a_{2026}-1\right)={\log }_2\left(2^{2^{2026}}\right)=2^{2026}.$$