Дана последовательность чисел a_1, a_2, , для которой a_1=5, а для всех n>= 1 выполняется соотношение: a_(n+1)=a_n^2-2a_n+2. Найдите значение _2(a_(2026)-1).
**Идея.** Рекуррента a_(n+1)=a_n^2-2a_n+2 устроена так, что после сдвига на единицу правая часть превращается в полный квадрат. Введём новую последовательность b_n=a_n-1 и посмотрим, как она себя ведёт. **Сведение к квадрату.** Вычтем 1 из обеих частей рекуррентного соотношения: a_(n+1)-1=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2. Значит, для b_n=a_n-1 выполняется совсем простое соотношение b_(n+1)=b_n^2, b_1=a_1-1=5-1=4. **Явная формула для b_n.** Каждый следующий член получается возведением предыдущего в квадрат, поэтому показатель степени удваивается на каждом шаге: b_1=4, b_2=b_1^2=4^2, b_3=b_2^2=4^(2^2), , b_n=4^(2^n-1). Строго это доказывается индукцией: если b_n=4^(2^n-1), то b_(n+1)=b_n^2=(4^(2^n-1))^2=4^(2^n-1)* 2=4^(2^n), что и есть та же формула для номера n+1. База b_1=4^(2^0)=4 верна. Удобно перевести основание в двойку. Так как 4=2^2, получаем b_n=(2^2)^(2^n-1)=2^(2* 2^n-1)=2^(2^n). **Проверка на первых членах.** Прямой пересчёт даёт a_1=5, a_2=17, a_3=257, a_4=65537 (это, кстати, числа Ферма 2^(2^n)+1). Соответственно a_n-1 равно 4,16,256,65536, то есть 2^(2^1),2^(2^2),2^(2^3),2^(2^4) — формула b_n=2^(2^n) подтверждается. **Ответ.** При n=2026 a_(2026)-1=b_(2026)=2^(2^2026), поэтому _2(a_(2026)-1)=_2(2^(2^2026))=2^(2026).
\(\log_2\left(a_{2026}-1\right)=2^{2026}\).