Задача №18549

Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}\text{,}$ если $x=\pi +1\text{.}$

Идея

Каждое подкоренное выражение вида $x\pm 2\sqrt{x-1}$ и $x\pm 4\sqrt{x-4}$ сворачивается в полный квадрат. После извлечения корня появляется модуль, знак которого определяется конкретным значением $x=\pi +1\text{.}$

Область допустимых значений

Внутренние корни требуют $\sqrt{x-1}$ и $\sqrt{x-4}\text{,}$ то есть

Внешние подкоренные выражения — полные квадраты, поэтому они неотрицательны автоматически. При $x=\pi +1\approx 4,14$ условие $x\ge 4$ выполнено, значит выражение определено.

Преобразование числителя

Выделим полный квадрат, используя $x=(x-1)+1\text{:}$

Извлекая арифметический корень (он даёт модуль), получаем

При $x=\pi +1$ имеем $\sqrt{x-1}=\sqrt{\pi }\approx 1,772>1\text{,}$ поэтому $\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{\pi }-1\text{.}$ Числитель равен

Преобразование знаменателя

Аналогично, используя $x=(x-4)+4\text{:}$

Тогда

При $x=\pi +1$ получаем $\sqrt{x-4}=\sqrt{\pi -3}\approx 0,376<2\text{,}$ значит $\left|\sqrt{x-4}-2\right|=2-\sqrt{x-4}\text{.}$ Знаменатель равен

Здесь важно, что оба слагаемых знаменателя определены: $\pi -3>0\text{,}$ поэтому $\sqrt{\pi -3}$ существует.

Итог

Численная проверка подстановкой $x=\pi +1$ даёт значение $0,88623\dots \text{,}$ что совпадает с $\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{.}$

Ответ: $\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{.}$