Найдите значение выражения: (sqrt(x+2x-1)+sqrt(x-2x-1))/(sqrt(x+4x-4)+sqrt(x-4x-4)), если x=pi+1.
## Идея Каждое подкоренное выражение вида x+- 2sqrt(x-1) и x+- 4sqrt(x-4) сворачивается в полный квадрат. После извлечения корня появляется модуль, знак которого определяется конкретным значением x=pi+1. ## Область допустимых значений Внутренние корни требуют sqrt(x-1) и sqrt(x-4), то есть x-1>= 0 и x-4>= 0 x>= 4. Внешние подкоренные выражения — полные квадраты, поэтому они неотрицательны автоматически. При x=pi+1~ 4,14 условие x>= 4 выполнено, значит выражение определено. ## Преобразование числителя Выделим полный квадрат, используя x=(x-1)+1: x+2sqrt(x-1)=(x-1)+2sqrt(x-1)+1=(sqrt(x-1)+1)^2, x-2sqrt(x-1)=(x-1)-2sqrt(x-1)+1=(sqrt(x-1)-1)^2. Извлекая арифметический корень (он даёт модуль), получаем sqrt(x+2x-1)=|sqrt(x-1)+1|=sqrt(x-1)+1, sqrt(x-2x-1)=|sqrt(x-1)-1|. При x=pi+1 имеем sqrt(x-1)=sqrt(pi)~ 1,772>1, поэтому |sqrt(x-1)-1|=sqrt(pi)-1. Числитель равен (sqrt(pi)+1)+(sqrt(pi)-1)=2sqrt(pi). ## Преобразование знаменателя Аналогично, используя x=(x-4)+4: x+4sqrt(x-4)=(x-4)+4sqrt(x-4)+4=(sqrt(x-4)+2)^2, x-4sqrt(x-4)=(x-4)-4sqrt(x-4)+4=(sqrt(x-4)-2)^2. Тогда sqrt(x+4x-4)=sqrt(x-4)+2, sqrt(x-4x-4)=|sqrt(x-4)-2|. При x=pi+1 получаем sqrt(x-4)=sqrt(pi-3)~ 0,376<2, значит |sqrt(x-4)-2|=2-sqrt(x-4). Знаменатель равен (sqrt(x-4)+2)+(2-sqrt(x-4))=4. Здесь важно, что оба слагаемых знаменателя определены: pi-3>0, поэтому sqrt(pi-3) существует. ## Итог (sqrt(x+2x-1)+sqrt(x-2x-1))/(sqrt(x+4x-4)+sqrt(x-4x-4))=(2sqrt(pi))/(4)=(sqrt(pi))/(2). Численная проверка подстановкой x=pi+1 даёт значение 0,88623, что совпадает с (sqrt(pi))/(2). **Ответ:** (sqrt(pi))/(2).
\(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\)