Задача №18280

Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных точках, причём в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?

Пусть через центр сферы проведено $n$ плоскостей. Каждая такая плоскость проходит через центр, поэтому в сечении даёт большой круг сферы — окружность того же радиуса, что и сфера, с центром в центре сферы. Итого имеем $n$ больших окружностей.

Как пересекаются две большие окружности. Возьмём две различные плоскости, проходящие через центр. Они пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы. Эта прямая (диаметр) пересекает сферу ровно в двух диаметрально противоположных точках. Эти же две точки лежат и на обеих окружностях. Значит, любые две большие окружности пересекаются ровно в двух точках (антиподальных). При этом мы считаем, что никакие три плоскости не имеют общей прямой иначе, чем это разрешено условием (общие точки трёх окружностей как раз и описаны в условии).

Подсчёт пар окружностей в точках пересечения. Подсчитаем двумя способами величину

где суммирование идёт по всем точкам пересечения $P\text{,}$ а $k_P$ — число окружностей, проходящих через точку $P\text{.}$ Слагаемое $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_P}{2}\right)$ — это количество пар окружностей, пересекающихся в точке $P\text{.}$

С одной стороны, каждая неупорядоченная пара окружностей даёт ровно $2$ точки пересечения, и в каждой из этих двух точек данная пара учитывается в сумме $S$ по одному разу. Поэтому каждая пара окружностей вносит в $S$ ровно $2\text{.}$ Число пар равно $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\text{,}$ значит

С другой стороны, по условию всего $22$ точки пересечения: в $12$ из них проходят по две окружности ($k_P=2$), а в остальных $10$ — по три ($k_P=3$). Тогда

Уравнение на число плоскостей. Приравнивая два выражения для $S\text{,}$ получаем

Это квадратное уравнение $n^2-n-42=0$ с корнями

то есть $n=7$ или $n=-6\text{.}$ Число плоскостей положительно, поэтому

Проверка согласованности данных. Заметим, что оба числа из условия определены однозначно и согласованы между собой. Если обозначить через $a$ число «двойных» точек, а через $b$ — число «тройных», то из условия $a+b=22$ и из равенства $a\cdot 1+b\cdot 3=n(n-1)=42$ получаем систему

откуда $2b=20\text{,}$ то есть $b=10$ и $a=12$ — ровно числа из условия. Кроме того, в силу диаметральной (антиподальной) симметрии каждая точка пересечения $P$ и её антипод $-P$ имеют одинаковую кратность, так что числа точек каждой кратности обязаны быть чётными; числа $12$ и $10$ чётны, что соответствует $6$ парам двойных и $5$ парам тройных антиподальных точек. Никаких противоречий нет, конфигурация арифметически реализуема.

Ответ: было проведено $7$ плоскостей.