Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных точках, причём в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?

Пусть через центр сферы проведено n плоскостей. Каждая такая плоскость проходит через центр, поэтому в сечении даёт **большой круг** сферы — окружность того же радиуса, что и сфера, с центром в центре сферы. Итого имеем n больших окружностей. **Как пересекаются две большие окружности.** Возьмём две различные плоскости, проходящие через центр. Они пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы. Эта прямая (диаметр) пересекает сферу ровно в двух диаметрально противоположных точках. Эти же две точки лежат и на обеих окружностях. Значит, **любые две большие окружности пересекаются ровно в двух точках** (антиподальных). При этом мы считаем, что никакие три плоскости не имеют общей прямой иначе, чем это разрешено условием (общие точки трёх окружностей как раз и описаны в условии). **Подсчёт пар окружностей в точках пересечения.** Подсчитаем двумя способами величину S=_(P)k_P2, где суммирование идёт по всем точкам пересечения P , а k_P — число окружностей, проходящих через точку P . Слагаемое k_P2 — это количество пар окружностей, пересекающихся в точке P . С одной стороны, каждая неупорядоченная пара окружностей даёт ровно 2 точки пересечения, и в каждой из этих двух точек данная пара учитывается в сумме S по одному разу. Поэтому каждая пара окружностей вносит в S ровно 2 . Число пар равно n2 , значит S=2n2=n(n-1). С другой стороны, по условию всего 22 точки пересечения: в 12 из них проходят по две окружности ( k_P=2 ), а в остальных 10 — по три ( k_P=3 ). Тогда S=12*22+10*32=12* 1+10* 3=12+30=42. **Уравнение на число плоскостей.** Приравнивая два выражения для S , получаем n(n-1)=42. Это квадратное уравнение n^2-n-42=0 с корнями n=(1+-sqrt(1+168))/(2)=(1+- 13)/(2), то есть n=7 или n=-6 . Число плоскостей положительно, поэтому n=7. **Проверка согласованности данных.** Заметим, что оба числа из условия определены однозначно и согласованы между собой. Если обозначить через a число «двойных» точек, а через b — число «тройных», то из условия a+b=22 и из равенства a* 1+b* 3=n(n-1)=42 получаем систему cases a+b=22, a+3b=42, cases откуда 2b=20 , то есть b=10 и a=12 — ровно числа из условия. Кроме того, в силу диаметральной (антиподальной) симметрии каждая точка пересечения P и её антипод -P имеют одинаковую кратность, так что числа точек каждой кратности обязаны быть чётными; числа 12 и 10 чётны, что соответствует 6 парам двойных и 5 парам тройных антиподальных точек. Никаких противоречий нет, конфигурация арифметически реализуема. **Ответ:** было проведено 7 плоскостей.

\(7\)