Найти все функции f, удовлетворяющие уравнению
f(x)+(x−2)f(1)+3f(0)=x3+2,x∈R.Требуется найти все функции f:R→R, удовлетворяющие тождеству
f(x)+(x−2)f(1)+3f(0)=x3+2,x∈R.Идея. Хотя уравнение содержит неизвестную функцию f в общей точке x, значения f(1) и f(0) входят в него лишь как два числовых параметра. Обозначим их
a=f(1),b=f(0).Тогда из самого уравнения функция f выражается явно через эти два числа.
Выражение f через параметры. Перенесём всё, кроме f(x), в правую часть:
f(x)=x3+2−(x−2)a−3b=x3−ax+(2a+2−3b).Это тождество верно при всех x, поэтому при любых допустимых значениях a,b функция f есть кубический многочлен указанного вида. Остаётся найти такие a и b, при которых выполнены условия согласования: подставив в полученную формулу x=1, мы обязаны получить именно f(1)=a, а подставив x=0 — получить f(0)=b. Эти два требования необходимы и достаточны: если они выполнены, то найденная формула задаёт корректную функцию, для которой исходное тождество обращается в верное (что мы проверим в конце).
Условия согласования. Подставляем x=1:
f(1)=13−a⋅1+(2a+2−3b)=1−a+2a+2−3b=3+a−3b.Приравнивая к a, получаем
3+a−3b=a⟹3−3b=0⟹b=1.Подставляем x=0:
f(0)=0−a⋅0+(2a+2−3b)=2a+2−3b.Приравнивая к b, получаем
2a+2−3b=b⟹2a+2−4b=0⟹a+1−2b=0.Получили линейную систему относительно a,b:
{−3b=−3,a−2b=−1.Из первого уравнения b=1, подставляя во второе: a−2=−1, то есть a=1. Определитель системы (по столбцам a,b) равен 01−3−2=3=0, поэтому решение единственно — никаких свободных параметров и иных функций нет.
Восстановление функции. Подставляя a=1, b=1 в формулу f(x)=x3−ax+(2a+2−3b):
f(x)=x3−1⋅x+(2⋅1+2−3⋅1)=x3−x+1.Проверка (подстановка в исходное уравнение). Для f(x)=x3−x+1 имеем f(1)=1−1+1=1 и f(0)=0−0+1=1. Тогда левая часть:
f(x)+(x−2)f(1)+3f(0)=(x3−x+1)+(x−2)⋅1+3⋅1=x3−x+1+x−2+3=x3+2,что совпадает с правой частью при всех x. Тождество выполнено.
Ответ: f(x)=x3−x+1 — единственная функция, удовлетворяющая условию.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)