Найти все функции f, удовлетворяющие уравнению f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x^3+2, xinR.

Требуется найти все функции f, удовлетворяющие тождеству f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x^3+2, xinR. **Идея.** Хотя уравнение содержит неизвестную функцию f в общей точке x, значения f(1) и f(0) входят в него лишь как два числовых параметра. Обозначим их a=f(1), b=f(0). Тогда из самого уравнения функция f выражается явно через эти два числа. **Выражение f через параметры.** Перенесём всё, кроме f(x), в правую часть: f(x)=x^3+2-(x-2)a-3b=x^3-ax+(2a+2-3b). Это тождество верно при всех x, поэтому при любых допустимых значениях a,b функция f есть кубический многочлен указанного вида. Остаётся найти такие a и b, при которых выполнены **условия согласования**: подставив в полученную формулу x=1, мы обязаны получить именно f(1)=a, а подставив x=0 — получить f(0)=b. Эти два требования необходимы и достаточны: если они выполнены, то найденная формула задаёт корректную функцию, для которой исходное тождество обращается в верное (что мы проверим в конце). **Условия согласования.** Подставляем x=1: f(1)=1^3-a* 1+(2a+2-3b)=1-a+2a+2-3b=3+a-3b. Приравнивая к a, получаем 3+a-3b=a3-3b=0=1. Подставляем x=0: f(0)=0-a* 0+(2a+2-3b)=2a+2-3b. Приравнивая к b, получаем 2a+2-3b=b2a+2-4b=0+1-2b=0. Получили линейную систему относительно a,b: cases-3b=-3, a-2b=-1.cases Из первого уравнения b=1, подставляя во второе: a-2=-1, то есть a=1. Определитель системы (по столбцам a,b) равен vmatrix0&-31&-2vmatrix=30, поэтому решение **единственно** — никаких свободных параметров и иных функций нет. **Восстановление функции.** Подставляя a=1, b=1 в формулу f(x)=x^3-ax+(2a+2-3b): f(x)=x^3-1* x+(2*1+2-3*1)=x^3-x+1. **Проверка (подстановка в исходное уравнение).** Для f(x)=x^3-x+1 имеем f(1)=1-1+1=1 и f(0)=0-0+1=1. Тогда левая часть: f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=(x^3-x+1)+(x-2)*1+3*1=x^3-x+1+x-2+3=x^3+2, что совпадает с правой частью при всех x. Тождество выполнено. **Ответ:** f(x)=x^3-x+1 — единственная функция, удовлетворяющая условию.

\(f(x)=x^3-x+1\)